Superfıcies orientables i no orientables

A la darrera secció hem parlat de ``normal cap dintre" i ``normal cap fora" en el cas d'una superfıcie esfèrica. Anem ara a precissar una mica això.

Una superfıcie orientable és una superfıcie amb dos costats: un s'anomena ``exterior" o positiu i l'altra ``interior" o negatiu (les denominacions exterior i interior no tenen massa sentit en el cas de superfıcies obertes, però les emprarem igualment). A cada punt (x, y, z) de S es poden escollir dos vectors normals $\vec{n}_{1}^{}$ i $\vec{n}_{2}^{}$ amb $\vec{n}_{1}^{}$ = - $\vec{n}_{2}^{}$ (vegeu la figura 19). En termes d'una parametrització es té, per exemple, $\vec{n}_{1}^{}$ = $\vec{T}_{u}^{}$×$\vec{T}_{v}^{}$, $\vec{n}_{2}^{}$ = $\vec{T}_{v}^{}$×$\vec{T}_{u}^{}$. Orientar la superfıcie vol dir escollir quin dels dos vectors normals és el positiu.

Figura: Les dues normals d'una superfıcie amb dos costats

Si hem parlat de superfıcies orientables voldrà dir que n'hi ha de no orientables, és a dir, superfıcies amb un sol costat. L'exemple més senzill és l'anomenada cinta de Moebius, que pot obtenir-se ajuntant els costats oposats d'un rectangle, però torsionant-lo. Referint-nos a la figura 20, A es fa coincidir amb A' i B amb B'. El resultat, amb b = 1 i a = 3, es mostra a la figura 21. Aquesta superfıcie té una sola cara. Si comencem en un punt i ens anem movent, sense creuar la vora, al final acabem en el mateix punt però a l'altra banda: no hi ha manera de distingir dues cares.

Figura 20: Generació d'una cinta de Moebius

Figura 21: Una cinta de Moebius

Una possible parametrització d'una cinta de Moebius de radi a i alçada 2b és

$$\left\{\vphantom{\begin{array}{l} x=(a+br\sin\frac{\displaystyle... ...\\ z=br\cos\frac{\displaystyle \phi}{\displaystyle 2} \end{array} }\right.$$$$\begin{array}{l} x=(a+br\sin\frac{\displaystyle \phi}{\displayst... ...})\sin\phi\\ z=br\cos\frac{\displaystyle \phi}{\displaystyle 2} \end{array}$$$$\begin{array}{c} \phi\in[0,2\pi)\\ r\in[-1,1] \end{array}$$

Els vectors tangents són

$$\vec{T}_{r}^{} \left(\vphantom{b\sin\frac{\phi}{2}\cos\phi,b\sin\frac{\phi}{2}\sin\phi, b\cos\frac{\phi}{2}}\right. {\frac{{\phi}}{{2}}} \phi {\frac{{\phi}}{{2}}} \phi {\frac{{\phi}}{{2}}} \left.\vphantom{b\sin\frac{\phi}{2}\cos\phi,b\sin\frac{\phi}{2}\sin\phi, b\cos\frac{\phi}{2}}\right)$$ =

$$\vec{T}_{\phi}^{} \left(\vphantom{ -(a+br\sin\frac{\phi}{2})\sin\phi+\frac{b}{2}r\cos\frac{\phi}{2}\cos\phi, }\right. {\frac{{\phi}}{{2}}} \phi {\frac{{b}}{{2}}} {\frac{{\phi}}{{2}}} \phi$$ =

$${\frac{{\phi}}{{2}}} \phi {\frac{{b}}{{2}}} {\frac{{\phi}}{{2}}} \phi$$

$$\left.\vphantom{ -\frac{b}{2} r\sin\frac{\phi}{2} }\right. {\frac{{b}}{{2}}} {\frac{{\phi}}{{2}}} \left.\vphantom{ -\frac{b}{2} r\sin\frac{\phi}{2} }\right)$$

Un vector normal és

$$\vec{T}_{\phi}^{} \vec{T}_{r}^{} \left(\vphantom{ \frac{b^2}{2} r\sin\phi+b\cos\frac{\phi}{2}\cos\phi(a+br\sin\frac{\phi}{2}),}\right. {\frac{{b^2}}{{2}}} \phi {\frac{{\phi}}{{2}}} \phi {\frac{{\phi}}{{2}}}$$ =

$${\frac{{b^2}}{{2}}} \phi {\frac{{\phi}}{{2}}} \phi {\frac{{\phi}}{{2}}}$$

$$\left.\vphantom{ -b\sin\frac{\phi}{2}(a+br\sin\frac{\phi}{2} }\right. {\frac{{\phi}}{{2}}} {\frac{{\phi}}{{2}}} \left.\vphantom{ -b\sin\frac{\phi}{2}(a+br\sin\frac{\phi}{2} }\right)$$

Llavors, si calculem el vector normal en el punt (a, 0, 0), que correspon a r = 0, $\phi$ = 0, tenim

$$\left(\vphantom{\vec T_\phi\times\vec T_r}\right.$$$$\vec{T}_{\phi}^{}$$×$$\vec{T}_{r}^{}$$$$\left.\vphantom{\vec T_\phi\times\vec T_r}\right)_{{\begin{array}{l}r=0 \phi=0\end{array}}}^{}$$ = (ab, 0, 0).

D'altra banda, si donem la volta,

$$\lim_{{\phi\to 2\pi}}^{}$$$$\left(\vphantom{\vec T_\phi\times\vec T_r}\right.$$$$\vec{T}_{\phi}^{}$$×$$\vec{T}_{r}^{}$$$$\left.\vphantom{\vec T_\phi\times\vec T_r}\right)_{{r=0}}^{}$$ = (- ab, 0, 0),

és a dir, que, sense creuar cap vora, hem tornat al mateix punt però ara ``mirem" en direcció contrària.

Les superfıcies no orientables juguen un paper fonamental en certes teories de les interaccions fonamentals de la Natura, però nosaltres sols les recordarem per avisar que certs teoremes, com el de Stokes, sols s'apliquen a superfıcies orientables.