Integrals de superfıcie de funcions escalars i vectorials

Tal com haviem fet en el cas de corbes, una vegada sabem com calcular l'àrea d'una superfıcie, no hi ha cap problema en definir integrals de funcions sobre superfıcies.

Sigui $f:\ensuremath{\mathbbm{ R}^3}\longrightarrow\ensuremath{\mathbbm{ R}}$ una funció escalar i sigui $\Phi$ una parametrització C¹, i injectiva quasi a tot arreu, d'una superfıcie S, S = $\Phi$(D). Definim llavors

$$\int_{\Phi}^{}$$f = $$\int$$$$\int_{D}^{}$$f ($$\Phi$$(u, v))|$$\vec{T}_{u}^{}$$×$$\vec{T}_{v}^{}$$| dudv.

$\Diamond$ Com que això no dependrà de la parametrització injectiva escollida, té sentit parlar de la integral sobre la superfıcie S, i s'escriu

$$\int_{S}^{}$$f.

Si f representa, per exemple, la càrrega elèctrica per unitat de superfıcie, llavors la integral anterior és la càrrega elèctrica total de la superfıcie.

Sigui ara $\vec F:\ensuremath{\mathbbm{ R}^3}\longrightarrow\ensuremath{\mathbbm{ R}^3}$ un camp vectorial i sigui de nou S = $\Phi$(D) una superfıcie parametritzada, amb les mateixes condicions que abans. Definim la integral de $\vec{F}$ sobre S

$$\int_{\Phi}^{}$$$$\vec{F}$$ ^. d$$\vec{s}$$,

com la integral de la funció escalar

F_N = $$\vec{F}$$ ^. $${\frac{{\vec n}}{{\Vert\vec n\Vert}}}$$,

és a dir, de la component de $\vec{F}$ normal a cada punt de la superfıcie. Per tant

$$\int_{\Phi}^{} \vec{F} \vec{s} \int_{\Phi}^{} \vec{F} {\frac{{\vec n}}{{\Vert\vec n\Vert}}} \int \int_{D}^{} \vec{F} {\frac{{\vec n}}{{\Vert\vec n\Vert}}} \vec{n}$$ =

$$\int \int_{D}^{} \vec{F} \vec{n}$$ =

$\Diamond$ Igual que abans, això no depén de la bona parametrització de S que s'agafi, de manera que s'escriu

$$\int_{S}^{}$$$$\vec{F}$$ ^. d$$\vec{s}$$

amb la diferència, però, que pot haver-hi un canvi de signe, cosa que es veu directament ja que si $\vec{n}$ canvia de signe també ho fa la integral. Això no passava per a funcions escalars, ja que allı teniem el mòdul de $\vec{n}$.

$\Diamond$ En el contexte de la Fısica, $\int_{S}^{}$$\vec{F}$ ^. d$\vec{s}$ s'anomena el flux de $\vec{F}$ a través de S.

$\Diamond$ Si S és una superfıcie tancada, s'escriu

$$\oint_{S}^{}$$$$\vec{F}$$ ^. d$$\vec{s}$$.

Donada una superfıcie S orientada, direm que la parametrització $\Phi$(u, v) preserva l'orientació de S si $\vec{T}_{u}^{}$×$\vec{T}_{v}^{}$ defineix una normal positiva, és a dir, que apunta en el mateix sentit que previament haviem definit com a positiu per a S, i direm que inverteix l'orientació en cas contrari. Obviament, si $\Phi$ : (u, v) $\mapsto$ $\Phi$(u, v) preserva l'orientació, aleshores $\Phi^{-}_{}$ : (v, u) $\mapsto$ $\Phi$(u, v) la inverteix.

Podem ara enunciar el teorema d'independència de les integrals respecte a la bona parametrització escollida.

Sigui S una superfıcie orientada i siguin $\Phi_{1}^{}$ i $\Phi_{2}^{}$ dues parametritzacions de la mateixa, injectives quasi a tot arreu. Aleshores, si f és un camp escalr i $\vec{F}$ un camp vectorial, tenim

$$\int_{{\Phi_1}}^{}$$f = $$\int_{{\Phi_2}}^{}$$,

mentre que

$$\int_{{\Phi_1}}^{}$$$$\vec{F}$$ ^. d$$\vec{s}$$ = ±$$\int_{{\Phi_2}}^{}$$$$\vec{F}$$ ^. d$$\vec{s}$$,

on el signe + val si $\Phi_{1}^{}$ i $\Phi_{2}^{}$ preserven o inverteixen simultàniament l'orientació de S, i el - en cas que una la inverteixi i l'altra la preservi. $\Box$

La demostració es deixa com exercici al lector, que es pot inspirar en la corresponent demostració per a corbes. Caldrà definir el concepte de parametritzacions equivalents, etc.