El teorema de Green en el pla

El teorema de Green relaciona integrals de camps vectorials sobre corbes tancades en el pla amb integrals dobles sobre les regions tancades per les mateixes, i pot ser considerat com un cas particular del teorema de Stokes a l'espai, que veurem a la secció següent. Presentarem primer un enunciat restringit i veurem després com es pot extendre a regions més generals.

Sigui $\vec{F}$(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) un camp vectorial C¹ a $\ensuremath{\mathbbm{ R}^2}$ i sigui D una regió de tipus 3 de $\ensuremath{\mathbbm{ R}^2}$. Aleshores

$$\int$$$$\int_{D}^{}$$$$\left(\vphantom{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}\right.$$$${\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}}$$ - $${\frac{{\partial P}}{{\partial y}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}\right)$$ dxdy = $$\oint_{{C^+}}^{}$$P dx + Q dy,

on C⁺ és la corba tancada que envolta D, orientada en sentit antihorari. $\Box$

El que farem serà veure que per regions de tipus 1 tenim que

$$\int$$$$\int_{D}^{}$$ - $${\frac{{\partial P}}{{\partial y}}}$$ dxdy = $$\oint_{{C^+}}^{}$$P dx,

mentre que

$$\int$$$$\int_{D}^{}$$$${\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}}$$ dxdy = $$\oint_{{C^+}}^{}$$Q dy

per a regions de tipus 2. Per a regions de tipus 3 ambdós enunciats seran vàlids i, presos conjuntament, demostraran l'enunciat.

Si D és de tipus 1, aleshores és de la forma representada a la figura 22. Tindrem que C⁺ = C₁ $\cup$ C₂ $\cup$ C₃ $\cup$ C₄ i

$$\int$$$$\int_{D}^{}$$ - $${\frac{{\partial P}}{{\partial y}}}$$ dxdy = $$\int_{a}^{b}$$dx$$\int_{{\phi_1(x)}}^{{\phi_2(x)}}$$ - $${\frac{{\partial P}}{{\partial y}}}$$(x, y) dy.

Figura 22: Una regió de tipus 1

Com que $\vec{F}$ és de classe C¹, la derivada $\partial$P/$\partial$y serà contınua i per tant podrem aplicar la regla de Barrow per a calcular la integral respecte a y, $\forall$ x:

$$\int$$$$\int_{D}^{}$$ - $${\frac{{\partial P}}{{\partial y}}}$$ dxdy = - $$\int_{a}^{b}$$dx$$\left.\vphantom{ P(x,y)}\right.$$P(x, y)$$\left.\vphantom{ P(x,y)}\right\vert _{{y=\phi_1(x)}}^{{y=\phi_2(x)}}$$ = $$\int_{a}^{b}$$$$\left(\vphantom{ P(x,\phi_1(x))-P(x,\phi_2(x)}\right.$$P(x,$$\phi_{1}^{}$$(x)) - P(x,$$\phi_{2}^{}$$(x)$$\left.\vphantom{ P(x,\phi_1(x))-P(x,\phi_2(x)}\right)$$ dx.

Resulta, però, que

$$\left\{\vphantom{\begin{array}{l} x=x\\ y=\phi_1(x) \end{array} }\right.$$$$\begin{array}{l} x=x\\ y=\phi_1(x) \end{array}$$x $$\in$$ [a, b],

és una parametrització de la corba C₁ orientada segons el dibuix, mentre que

$$\left\{\vphantom{\begin{array}{l} x=x\\ y=\phi_2(x) \end{array} }\right.$$$$\begin{array}{l} x=x\\ y=\phi_2(x) \end{array}$$x $$\in$$ [a, b],

és una parametrització de C₃ orientada en sentit contrari al del dibuix. Per tant

$$\int_{a}^{b} \phi_{1}^{} \int_{{C_1}}^{}$$ =

$$\int_{a}^{b} \phi_{2}^{} \int_{{C_3^-}}^{} \int_{{C_3}}^{}$$ =

D'altra banda,

$$\int_{{C_2}}^{}$$P(x, y) dx = 0 = $$\int_{{C_4}}^{}$$P(x, y) dx,

ja que en aquestes corbes el vector tangent té component x nul-l ^. la. Per tant

$$\int \int_{D}^{} {\frac{{\partial P}}{{\partial y}}}$$

$$\int_{{C_1}}^{} \int_{{C_3}}^{}$$ =

$$\int_{{C_1}}^{} \int_{{C_2}}^{} \int_{{C_3}}^{} \int_{{C_4}}^{}$$ =

$$\int_{{C^+}}^{}$$ =

De la mateixa manera es demostra el resultat referent a regions de tipus 2 (feu-ho), i això completa la demostració.

El teorema de Green es pot extendre a regions de tipus més general. Sigui per exemple la regió mostrada a la figura 23. Aquesta regió es pot dividir en regions de tipus 3, per exemple tal com mostra la figura 24. Referint-nos a ella, tenim que D = D₁ $\cup$ D₂ $\cup$ D₃ i C⁺ = C₁ $\cup$ C₂ $\cup$ C₃. Com que les tres regions són de tipus 3, podrem aplicar l'anterior teorema de Green i serà (prescindim dels integrants)

$$\int \int_{{D_1}}^{} \oint_{{C_1\cup C_4^-\cup C_5^-}}^{} \int_{{C_1}}^{} \int_{{C_4^-}}^{} \int_{{C_5^-}}^{} \int_{{C_1}}^{} \int_{{C_4}}^{} \int_{{C_5}}^{}$$ =

$$\int \int_{{D_2}}^{} \oint_{{C_2\cup C_4}}^{} \int_{{C_2}}^{} \int_{{C_4}}^{}$$ =

$$\int \int_{{D_3}}^{} \oint_{{C_3\cup C_5}}^{} \int_{{C_3}}^{} \int_{{C_5}}^{}$$ =

Figura 23: Una regió qualsevol

Figura 24: La regió anterior dividida en regions de tipus 3

Recollint tots aquests resultats tenim

$$\int$$$$\int_{D}^{}$$ = $$\int$$$$\int_{{D_1}}^{}$$ + $$\int$$$$\int_{{D_2}}^{}$$ + $$\int$$$$\int_{{D_3}}^{}$$ = $$\int_{{C_1}}^{}$$ + $$\int_{{C_2}}^{}$$ + $$\int_{{C_3}}^{}$$ = $$\oint_{{C^+}}^{}$$,

i per tant el teorema de Green també és vàlid en aquest cas. Hem demostrat per tant el

Sigui $\vec{F}$(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) un camp vectorial de classe C¹ en una regió $D\in\ensuremath{\mathbbm{ R}^2}$ tancada per una corba C⁺, de classe C¹ a trosos i orientada en sentit antihorari. Aleshores

$$\int$$$$\int_{D}^{}$$$$\left(\vphantom{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}\right.$$$${\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}}$$ - $${\frac{{\partial P}}{{\partial y}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}\right)$$ dxdy = $$\oint_{{C^+}}^{}$$P dx + Q dy.

$\Box$

De fet, podem anar més enllà i, amb un conveni adient, veure que el teorema de Green és vàlid per a regions amb ``forats". Per exemple, la regió de la figura 25, limitada per la corba exterior $\Gamma$ i la corba interior $\gamma$, es pot descomposar en regions sense forats, tal com mostra la figura 26.

Figura 25: Una regió foradada

Figura 26: Una descomposició de la regió anterior

Aplicant el teorema de Green a les regions D₁ i D₂ tenim

$$\int \int_{{D_1}}^{} \int_{{C_1}}^{} \int_{{C_5}}^{} \int_{{C_3}}^{} \int_{{C_6}}^{}$$ =

$$\int \int_{{D_2}}^{} \int_{{C_6}}^{} \int_{{C_4}}^{} \int_{{C_5}}^{} \int_{{C_2}}^{}$$ =

$$\int \int_{{D}}^{} \int \int_{{D_1}}^{} \int \int_{{D2}}^{} \int_{{C_1}}^{} \int_{{C_2}}^{} \int_{{C_3}}^{} \int_{{C_4}}^{}$$ =

$$\oint_{\Gamma}^{} \oint_{\gamma}^{} \oint_{\Gamma}^{} \oint_{{\gamma^-}}^{}$$ =

Per tant, el teorema de Green és aplicable a regions amb forats, sempre que la corba interior (o les corbes interiors) s'agafi en sentit negatiu (horari).

En qualsevol cas, és important que les corbes tancades considerades es puguin orientar en sentit antihorari, i això exclou les corbes que s'autotallen (corbes no simples), tal com mostra l'exemple següent.

Exemple 17   Sigui la corba plana C amb parametrització $\sigma$($\phi$) = (x($\phi$), y($\phi$)) donada per

$$\left\{\vphantom{\begin{array}{l} x(\phi)=\cos\phi\\ y(\phi... ...frac{\displaystyle \phi}{\displaystyle 2}\right)\sin\phi \end{array} }\right.$$$$\begin{array}{l} x(\phi)=\cos\phi\\ y(\phi)=\left(1-\sqrt{2}\sin\frac{\displaystyle \phi}{\displaystyle 2}\right)\sin\phi \end{array}$$$$\phi$$ $$\in$$ [0, 2$$\pi$$]

La corba està dibuixada a la figura 27.

Figura 27: Una corba no simple

Cal observar que $\sigma$($\pi$/2) = $\sigma$(3$\pi$/2) = (0, 0), és a dir, la corba es talla a ella mateixa en el punt (0, 0), i que el sentit de recorregut és quadrants 1$\to$3$\to$2$\to$4, i no quadrants 1$\to$2$\to$3$\to$4 (llavors diriem que la corba es ``toca" en lloc de es ``talla"), ja que

$$\sigma{^\prime} \pi$$ = (- 1, - 1/2),

$$\sigma{^\prime} \pi$$ = (1, - 1/2).

Encara que això ja es veu en el dibuix, hom pot comprovar que x($\pi$ + $\epsilon$) = x($\pi$ - $\epsilon$) i y($\pi$ + $\epsilon$) = - y($\pi$ - $\epsilon$). Com que $\sigma$($\pi$) = (- 1, 0), això indica que la corba és simètrica respecte a l'eix de les X. Fixem-nos que aquesta corba no té orientació definida: el lòbul de la dreta és antihorari però el de l'esquerra és horari. Com que el teorema de Green és vàlid aplicat a cada un dels lòbuls amb orientació antihorària, ja es veu que no serà aplicable a la corba donada. Considerem per exemple el camp vectorial

$$\vec{F}$$(x, y) = (y, 0) $$\equiv$$ (P(x, y), Q(x, y)).

D'una banda tindrem

$$\oint_{C}^{} \vec{F} \vec{l} \oint_{C}^{} \int_{0}^{{2\pi}} \sqrt{2} {\frac{{\phi}}{{2}}} \phi \phi \phi$$ =

$$\pi {\frac{{\displaystyle 32 \sqrt 2}}{{\displaystyle 15}}}$$ =

D'altra banda

$$\int \int_{D}^{} \left(\vphantom{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}\right. {\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}} {\frac{{\partial P}}{{\partial y}}} \left.\vphantom{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}\right) \int \int$$ =

= -2((LSD)+,(LSE)),

on LSD és el (semi)lòbul superior dret i LSE l'esquerra. L'àrea d'aquests semilòbuls és difıcil de calcular directament. Resulta, però, que sobre ells sı que podem aplicar el teorema de Green i tindrem

$$\int \int_{{LSD}}^{} \left(\vphantom{\frac{\partial 0}{\partial x} -\frac{\partial (-y)}{\partial y}}\right. {\frac{{\partial 0}}{{\partial x}}} {\frac{{\partial (-y)}}{{\partial y}}} \left.\vphantom{\frac{\partial 0}{\partial x} -\frac{\partial (-y)}{\partial y}}\right)$$ (LSD) =

$$\oint_{{FLSD}}^{} \oint_{{FLSD}}^{}$$ =

on FLSD és la corba que limita LSD recorreguda en sentit antihorari. Aquesta corba tancada té dues components: un tros d'eix X, que anomenarem $\cal {R}$, i un tros de la corba original, corresponent als valors del paràmetre entre $\phi$ = 0 i $\phi$ = $\pi$/2, que anomenarem $\cal {C}$. Tenim

$$\int_{{\cal R}}^{} \mbox{per ser $y=0$ sobre $\cal R$}$$ =

$$\int_{{\cal C}}^{} \int_{0}^{{\pi/2}} \sqrt{2} {\frac{{\phi}}{{2}}} \phi \phi \phi$$ =

$${\frac{{\displaystyle \pi}}{{\displaystyle 4}}} {\frac{{\displaystyle 64 \sqrt 2 - 56}}{{\displaystyle 60}}}$$ =

Per tant

(LSD)=&pi#pi;4 -64 2 - 5660.

De la mateixa manera es veu que

$$\oint_{{FLSE}}^{} \oint_{{-FLSD}}^{}$$ (LSE) =

$$\int_{\pi}^{{3\pi/2}} \sqrt{2} {\frac{{\phi}}{{2}}} \phi \phi \phi {\frac{{\displaystyle 14}}{{\displaystyle 15}}} {\frac{{\displaystyle \pi}}{{\displaystyle 4}}}$$ =

Per tant

$$\int$$$$\int_{D}^{}$$$$\left(\vphantom{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}\right.$$$${\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}}$$ - $${\frac{{\partial P}}{{\partial y}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}\right)$$ dxdy = - 2$$\left(\vphantom{ \frac{-\displaystyle 16 \sqrt 2}{\displaystyle 15}+\frac{\displaystyle 28}{\displaystyle 15}}\right.$$$${\frac{{-\displaystyle 16 \sqrt 2}}{{\displaystyle 15}}}$$ + $${\frac{{\displaystyle 28}}{{\displaystyle 15}}}$$$$\left.\vphantom{ \frac{-\displaystyle 16 \sqrt 2}{\displaystyle 15}+\frac{\displaystyle 28}{\displaystyle 15}}\right)$$ = $${\frac{{32\sqrt{2}-56}}{{15}}}$$,

i els dos resultats són diferents, tal com era d'esperar pel que hem comentat.

No tant sols s'ha d'anar amb compte amb les corbes que s'autointersecten, sino que s'ha de vigilar que els camps vectorials siguin C¹, tal com es veu en el següent cas.

Exemple 18   Sigui $D=\{ (x,y)\in\ensuremath{\mathbbm{ R}^2} \vert x^2+y^2\leq 1\}$ i el camp vectorial

$$\vec{F}$$(x, y) = $$\left(\vphantom{ \frac{-y}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2}}\right.$$$${\frac{{-y}}{{x^2+y^2}}}$$,$${\frac{{x}}{{x^2+y^2}}}$$$$\left.\vphantom{ \frac{-y}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2}}\right)$$.

Aquest camp vectorial no és C¹ en el punt (0, 0) $\in$ D, i per tant no podrem emprar el teorema de Green. En efecte, el càlcul directe de la integral de $\vec{F}$ sobre la frontera de D és, amb la parametrització $\sigma$($\phi$) = (cos$\phi$, sin$\phi$), $\phi$ $\in$ [0, 2$\pi$], $\sigma{^\prime}$($\phi$) = (- sin$\phi$, cos$\phi$),

$$\oint_{{C^+}}^{} \vec{F} \vec{l} \int_{0}^{{2\pi}} \phi \phi \phi \phi \phi$$ =

$$\int_{0}^{{2\pi}} \phi \phi \phi \pi$$ =

mentre que

$${\frac{{\partial P}}{{\partial y}}} {\frac{{\partial}}{{\partial y}}} \left(\vphantom{\frac{-y}{x^2+y^2}}\right. {\frac{{-y}}{{x^2+y^2}}} \left.\vphantom{\frac{-y}{x^2+y^2}}\right) {\frac{{y^2-x^2}}{{(x^2+y^2)^2}}}$$ =

$${\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}} {\frac{{\partial}}{{\partial x}}} \left(\vphantom{\frac{x}{x^2+y^2}}\right. {\frac{{x}}{{x^2+y^2}}} \left.\vphantom{\frac{x}{x^2+y^2}}\right) {\frac{{y^2-x^2}}{{(x^2+y^2)^2}}}$$ =

i, per tant,

$$\int$$$$\int_{D}^{}$$$$\left(\vphantom{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}\right.$$$${\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}}$$ - $${\frac{{\partial P}}{{\partial y}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}\right)$$ dxdy = $$\int$$$$\int_{D}^{}$$(0) dxdy = 0.

Exemple 19   Repetiu l'exemple 18 amb el mateix camp vectorial però agafant ara la corona $D=\{ (x,y)\in\ensuremath{\mathbbm{ R}^2} \vert 1/2\leq x^2+y^2\leq 1\}$, de manera que el punt singular queda fora de D.

L'exemple 17 ha mostrat una aplicació del teorema de Green, que permet calcular integrals dobles sobre regions els lımits de les quals no es poden posar en forma explıcita senzilla, però sı que es coneix una forma paramètrica simple dels mateixos. En concret, es té que, sota les condicions en que es pot aplicar el teorema de Green,

(D)=-&conint#oint;_C^+ y dx = &conint#oint;_C^+ x dy = 12 &conint#oint;_C^+ (-y dx + x dy).

En el cas general de voler calcular

$$\int$$$$\int_{D}^{}$$f (x, y) dxdy,

podrem emprar el teorema de Green sempre que existeixin P i Q tals que

f (x, y) = $${\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}}$$(x, y) - $${\frac{{\partial P}}{{\partial y}}}$$(x, y).