Camps conservadors

Un camp vectorial $\vec{F}$(x, y, z) a $\ensuremath{\mathbbm{ R}^3}$, o $\vec{F}$(x, y) a $\ensuremath{\mathbbm{ R}^2}$, s'anomena conservador (altrament també anomenat ``conservatiu") si la integral del mateix entre dos punts A i B de $\ensuremath{\mathbbm{ R}^3}$, o de $\ensuremath{\mathbbm{ R}^2}$, no depén de la corba que s'agafi per unir els dos punts. Volem ara donar criteris operatius per a decidir si un camp és o no conservador. El teorema de Stokes serà fonamental.

Sigui $\vec{F}$ un camp vectorial C¹ a $\ensuremath{\mathbbm{ R}^3}$, excepte, possiblement, en un nombre finit de punts. Aleshores les quatre afirmacions següents són equivalents:

1. $\oint_{C}^{}$$\vec{F}$ ^. d$\vec{l}$ = 0, C qualsevol corba tancada,
2. $\vec{F}$ és conservador,
3. $\vec{F}$ = $\vec{\nabla}$f, on f és una funció escalar que s'anomena el potencial de $\vec{F}$,
4. $\vec{\nabla}$×$\vec{F}$ = 0.

$\Box$

Demostrarem que 1 $\Rightarrow$ 2 $\Rightarrow$ 3 $\Rightarrow$ 4 $\Rightarrow$ 1, i això demostrarà l'equivalència. Suposarem que $\vec{F}$ és C¹ a tot $\ensuremath{\mathbbm{ R}^3}$ i ja comentarem després què passa si no és aixı.

1 $\Rightarrow$ 2 Siguin dues corbes C₁ i C₂ entre A i B (figura 31).

Figura 31: Dues corbes entre dos punts

Aleshores C = C₁ $\cup$ C₂^- serà una corba tancada i

$$\oint_{C}^{} \vec{F} \vec{l} \int_{{C_1}}^{} \vec{F} \vec{l} \int_{{C_2^-}}^{} \vec{F} \vec{l}$$ 0 =

$$\int_{{C_1}}^{} \vec{F} \vec{l} \int_{{C_2}}^{} \vec{F} \vec{l}$$ =

d'on

$$\int_{{C_1}}^{}$$$$\vec{F}$$ ^. d$$\vec{l}$$ = $$\int_{{C_2}}^{}$$$$\vec{F}$$ ^. d$$\vec{l}$$

i $\vec{F}$ és conservador.

2 $\Rightarrow$ 3 Si $\vec{F}$ és conservador, podrem calcular la seva integral entre (0, 0, 0) i (x, y, z) seguint qualsevol corba i sempre tindrem el mateix resultat, que serà una funció de (x, y, z):

f (x, y, z) = $$\int_{{(0,0,0)}}^{{(x,y,z)}}$$$$\vec{F}$$ ^. d$$\vec{l}$$.

Calcularem primer aquesta integral seguint la corba de la figura 32, formada per tres segments paral-l ^. lels als tres eixos en l'ordre indicat:

$$\Gamma$$ = $$\gamma_{1}^{}$$ $$\cup$$ $$\gamma_{2}^{}$$ $$\cup$$ $$\gamma_{3}^{}$$.

Figura 32: Una corba entre (0, 0, 0) i (x, y, z)

Tindrem

$$\int_{{\gamma_1}}^{} \vec{F} \vec{l} \int_{0}^{x} \vec{F} \int_{0}^{x}$$ =

$$\int_{{\gamma_2}}^{} \vec{F} \vec{l} \int_{0}^{y} \vec{F} \int_{0}^{y}$$ =

$$\int_{{\gamma_3}}^{} \vec{F} \vec{l} \int_{0}^{z} \vec{F} \int_{0}^{z}$$ =

i

f (x, y, z) = $$\int_{\Gamma}^{}$$$$\vec{F}$$ ^. d$$\vec{l}$$ = $$\int_{0}^{x}$$F_x(t, 0, 0) dt + $$\int_{0}^{y}$$F_y(x, t, 0) dt + $$\int_{0}^{z}$$F_z(x, y, t) dt.

Derivant ara aquesta expressió respecte a z obtenim

$${\frac{{\partial f}}{{\partial z}}}$$(x, y, z) = F_z(x, y, z).

Anàlogament, seguint les corbes que pareixen a la figura 33, veuriem que

$${\frac{{\partial f}}{{\partial x}}}$$

$${\frac{{\partial f}}{{\partial y}}}$$

Figura 33: Dues altres corbes entre (0, 0, 0) i (x, y, z)

En conjunt,

$$\vec{F}$$(x, y, z) = $$\left(\vphantom{ \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z), \frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z), \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z) }\right.$$$${\frac{{\partial f}}{{\partial x}}}$$(x, y, z),$${\frac{{\partial f}}{{\partial y}}}$$(x, y, z),$${\frac{{\partial f}}{{\partial z}}}$$(x, y, z)$$\left.\vphantom{ \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z), \frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z), \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z) }\right)$$ = $$\vec{\nabla}$$f (x, y, z),

tal com voliem demostrar. Aquesta demostració és constructiva, ja que proporciona un mètode per a calcular f donat $\vec{F}$.

3 $\Rightarrow$ 4 Es obvi, ja que, per les propietats de $\vec{\nabla}$,

$$\vec{\nabla}$$×$$\vec{F}$$ = $$\vec{\nabla}$$×($$\vec{\nabla}$$f )= 0.

4 $\Rightarrow$ 1 Sigui S una superfıcie orientada qualsevol amb vora C. Aleshores, pel teorema de Stokes,

$$\oint_{{C^+}}^{}$$$$\vec{F}$$ ^. d$$\vec{l}$$ = $$\int_{{S^+}}^{}$$($$\vec{\nabla}$$×$$\vec{F}$$) ^. d$$\vec{s}$$ = $$\int_{{S^+}}^{}$$$$\vec{0}$$ ^. d$$\vec{s}$$ = 0.

Amb això queda completada la demostració del teorema.

$\Diamond$ Si $\vec{F}$ té punts singulars, els passos de les demostracions anteriors es poden fer esquivant aquests punts i el teorema es demostra igualment. Naturalment, les corbes i superfıcies que hi apareixen han d'evitar els punts singulars. Per exemple, si (0, 0, 0) és un punt singular de $\vec{F}$, la demostració de 2 $\Rightarrow$ 3 es pot fer canviant (0, 0, 0) per qualsevol altre punt fixat (aquesta llibertat correspon a afegir una constant a f, però això no canvia $\vec{F}$). Si $\vec{F}$ és, però, singular sobre un objecte de dimensió 1 o més gran, aleshores pot haver-hi problemes. Per exemple, si $\vec{F}$ és singular sobre una linia infinita i C encercla aquesta linia, aleshores no es pot trobar cap S on poguem aplicar el teorema de Stokes i no es pot demostrar que 4 $\Rightarrow$ 1.

$\Diamond$ El teorema és vàlid a $\ensuremath{\mathbbm{ R}^2}$ canviant el teorema de Stokes pel de Green. La condició de rotacional nul es redueix a

$${\frac{{\partial F_y}}{{\partial x}}}$$ - $${\frac{{\partial F_x}}{{\partial y}}}$$ = 0.

Ara, però, n'hi ha prou amb un punt singular per tal que no es pugui demostrar 4 $\Rightarrow$ 1: en el pla no hi ha una tercera dimensió per on fer passar la superfıcie amb vora C que no contingui el punt singular (repasseu l'exemple 18).

$\Diamond$ Per les raons exposades, els camps Newtonians a $\ensuremath{\mathbbm{ R}^3}$,

$$\vec{F}$$ = $$\alpha$$$${\frac{{\vec r}}{{r^3}}}$$,  $$\alpha$$ constant,

que deriven del potencial f = - $\alpha$${\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle r}}}$, són conservadors malgrat ser singulars a l'origen.

$\Diamond$ A Fısica, s'anomena potencial a

- f = $$\cal {U}$$

i llavors

$$\vec{F}$$ = - $$\vec{\nabla}$$$$\cal {U}$$.

$\Diamond$ Quan hom té una singularitat que espatlla 4 $\Rightarrow$ 1, per exemple un punt a $\ensuremath{\mathbbm{ R}^2}$, el resultat del teorema següeix éssent vàlid si ens restringim a corbes que no envoltin la singularitat. Això és una altra manera de posar de manifest que un punt singular no és cap problema a $\ensuremath{\mathbbm{ R}^3}$: a $\ensuremath{\mathbbm{ R}^3}$ una corba no pot envoltar un punt.

Del teorema demostrat s'en dedueix l'anomenat teorema del gradient, que permet calcular les integrals de camps conservadors conegut el seu potencial.

Sigui $\vec{F}$ un camp conservador i f el seu potencial, $\vec{F}$ = $\vec{\nabla}$f. Aleshores

$$\int_{A}^{B}$$$$\vec{F}$$ ^. d$$\vec{l}$$ = f (B) - f (A).

$\Box$

La demostració és immediata. Sigui $\gamma$ una corba qualsevol entre A i B i sigui $\sigma$(t) = (x(t), y(t), z(t)) una parametrització de la mateixa. Aleshores

$$\int_{A}^{B} \vec{F} \vec{l} \int_{\gamma}^{} \vec{F} \vec{l} \int_{a}^{b} \vec{F} \sigma \sigma{^\prime}$$ =

$$\int_{a}^{b} \left(\vphantom{\frac{\partial f}{\partial x}(\sigma(t)), \frac{\... ...al f}{\partial y}(\sigma(t)), \frac{\partial f}{\partial z}(\sigma(t)) }\right. {\frac{{\partial f}}{{\partial x}}} \sigma {\frac{{\partial f}}{{\partial y}}} \sigma {\frac{{\partial f}}{{\partial z}}} \sigma \left.\vphantom{\frac{\partial f}{\partial x}(\sigma(t)), \frac{\... ...al f}{\partial y}(\sigma(t)), \frac{\partial f}{\partial z}(\sigma(t)) }\right)$$ =

$$\int_{a}^{b} \left(\vphantom{\frac{\partial f}{\partial x}(\sigma(t)) x'(t)+ \... ...al y}(\sigma(t)) y'(t)+ \frac{\partial f}{\partial z}(\sigma(t)) z'(t) }\right. {\frac{{\partial f}}{{\partial x}}} \sigma {\frac{{\partial f}}{{\partial y}}} \sigma {\frac{{\partial f}}{{\partial z}}} \sigma \left.\vphantom{\frac{\partial f}{\partial x}(\sigma(t)) x'(t)+ \... ...al y}(\sigma(t)) y'(t)+ \frac{\partial f}{\partial z}(\sigma(t)) z'(t) }\right)$$ =

$$\int_{a}^{b} {\frac{{\text{d}}}{{\text{d}t}}} \sigma \left.\vphantom{f(\sigma(t))}\right. \sigma \left.\vphantom{f(\sigma(t))}\right\vert _{{t=a}}^{{t=b}}$$ =

$$\sigma \sigma$$ =