El teorema de Gauss. Camps solenoıdals

El teorema de Gauss (o de la divergència) relaciona integrals sobre superfıcies tancades amb integrals de volum. Donarem la versió per a regions de tipus 4 i després veurem com es pot extendre.

Sigui V una regió de tipus 4 a $\ensuremath{\mathbbm{ R}^3}$, és a dir, una regió tal que qualsevol recta paral-l ^. lela a qualsevol eix coordenat entra i surt de V com a màxim una vegada, i sigui S⁺ la superfıcie tancada que envolta V, orientada cap a l'exterior. Sigui $\vec{F}$ un camp vectorial de classe C¹ a V. Aleshores

$$\oint_{{S^+}}^{}$$$$\vec{F}$$ ^. d$$\vec{s}$$ = $$\int_{V}^{}$$$$\vec{\nabla}$$ ^. $$\vec{F}$$ dxdydz.

$\Box$

Hem de demostrar que

$$\int_{V}^{}$$$$\left(\vphantom{ \frac{\partial F_x}{\partial x}+ \frac{\partial F_y}{\partial y}+ \frac{\partial F_z}{\partial z} }\right.$$$${\frac{{\partial F_x}}{{\partial x}}}$$ + $${\frac{{\partial F_y}}{{\partial y}}}$$ + $${\frac{{\partial F_z}}{{\partial z}}}$$$$\left.\vphantom{ \frac{\partial F_x}{\partial x}+ \frac{\partial F_y}{\partial y}+ \frac{\partial F_z}{\partial z} }\right)$$ dxdydz = $$\oint_{{S^+}}^{}$$(F_x, F_y, F_z) ^. d$$\vec{s}$$.

Si demostrem que

$$\int_{V}^{}$$$${\frac{{\partial F_z}}{{\partial z}}}$$ dxdydz = $$\oint_{{S^+}}^{}$$(0, 0, F_z) ^. d$$\vec{s}$$,

i anàlogament per a F_y i F_z haurem, degut a la linealitat de les integracions i del producte escalar, demostrat el resultat.

Com que V és de tipus 4, serà, en particular, de tipus 1, i la superfıcie tancada S serà de la forma S₁ $\cup$ S₂, amb S₁ i S₂ descrites, respectivament, per z = $\phi_{1}^{}$(x, y) i z = $\phi_{2}^{}$(x, y), amb (x, y) $\in$ $\cal {U}$, éssent $\cal {U}$ la projecció del volum V sobre el pla XY (vegeu la figura 34).

Figura 34: Una regió de tipus 4 pensada com a regió de tipus 1

Tindrem

$$\int_{V}^{} {\frac{{\partial F_z}}{{\partial z}}} \int \int_{{\cal U}}^{} \int_{{\phi_1(x,y)}}^{{\phi_2(x,y)}} {\frac{{\partial F_z}}{{\partial z}}}$$ =

$$\int \int_{{\cal U}}^{} \left.\vphantom{ F_z(x,y,z)}\right. \left.\vphantom{ F_z(x,y,z)}\right\vert _{{z=\phi_1(x,y)}}^{{z=\phi_2(x,y)}}$$ =

$$\int \int_{{\cal U}}^{} \left[\vphantom{ F_z(x,y,\phi_2(x,y))-F_z(x,y,\phi_1(x,y))}\right. \phi_{2}^{} \phi_{1}^{} \left.\vphantom{ F_z(x,y,\phi_2(x,y))-F_z(x,y,\phi_1(x,y))}\right]$$ =

D'altra banda, podem calcular $\oint_{{S^+}}^{}$(0, 0, F_z) ^. d$\vec{s}$ amb la parametrització que volguem. En concret, emprem S = S₁ $\cup$ S₂ i parametritzem S₁ amb

$$\left\{\vphantom{\begin{array}{l} x=x\\ y=y\\ z=\phi_1(x,y) \end{array} }\right.$$$$\begin{array}{l} x=x\\ y=y\\ z=\phi_1(x,y) \end{array}$$(x, y) $$\in$$ $$\cal {U}$$

i anàlogament per a S₂. El vector normal a S₁ és

$$\vec{T}_{x}^{} {\frac{{\partial\phi_1}}{{\partial x}}}$$ =

$$\vec{T}_{y}^{} {\frac{{\partial\phi_1}}{{\partial y}}}$$ =

$$\vec{n}_{1}^{} \vec{T}_{x}^{} \vec{T}_{y}^{} \left(\vphantom{-\frac{\partial\phi_1}{\partial x}, -\frac{\partial\phi_1}{\partial y}, 1}\right. {\frac{{\partial\phi_1}}{{\partial x}}} {\frac{{\partial\phi_1}}{{\partial y}}} \left.\vphantom{-\frac{\partial\phi_1}{\partial x}, -\frac{\partial\phi_1}{\partial y}, 1}\right)$$ =

mentre que per a S₂, de forma anàloga,

$$\vec{n}_{2}^{}$$ = $$\left(\vphantom{-\frac{\partial\phi_2}{\partial x}, -\frac{\partial\phi_2}{\partial y}, 1}\right.$$ - $${\frac{{\partial\phi_2}}{{\partial x}}}$$, - $${\frac{{\partial\phi_2}}{{\partial y}}}$$, 1$$\left.\vphantom{-\frac{\partial\phi_2}{\partial x}, -\frac{\partial\phi_2}{\partial y}, 1}\right)$$.

Tant $\vec{n}_{1}^{}$ com $\vec{n}_{2}^{}$ apunten en la direcció positiva de l'eix Z. Per tant, si S⁺ està orientada amb la normal cap a fora, serà

S⁺ = S₁^- $$\cup$$ S₂,

i aixı

$$\oint_{{S^+}}^{} \vec{s} \int_{{S_1}}^{} \vec{s} \int_{{S_2}}^{} \vec{s}$$ =

$$\int \int_{{\cal U}}^{} \phi_{1}^{}$$ =

$$\int \int_{{\cal U}}^{} \phi_{2}^{}$$

$$\int \int_{{\cal U}}^{} \left(\vphantom{ F_z(x,y,\phi_2(x,y))-F_z(x,y,\phi_1(x,y))}\right. \phi_{2}^{} \phi_{1}^{} \left.\vphantom{ F_z(x,y,\phi_2(x,y))-F_z(x,y,\phi_1(x,y))}\right)$$ =

que és el que voliem. La demostració és anàloga per a les altres components, emprant que V és de tipus 2 i 3 respectivament, i això completa la demostració del teorema de Gauss.

Si el volum considerat no és de tipus 4, el descomposarem en volums que ho siguin i aplicarem el teorema de Gauss a cada un d'ells. La contribució de les superfıcies comunes s'anul-l ^. la i s'obté el teorema de Gauss per a la regió total. Per exemple, referint-nos a la figura 35, el volum total V = V₁ $\cup$ V₂ està limitat per S = S₁ $\cup$ S₂. Si orientem la superfıcie de separació, S₃, cap a la dreta i dotem S₁ i S₂ amb l'orientació de S⁺, tindrem

$$\oint_{{S_1\cup S_3}}^{}$$ = $$\int_{{V_1}}^{}$$,$$\oint_{{S_2\cup S_3^-}}^{}$$ = $$\int_{{V_2}}^{}$$,

de manera que

$$\int_{V}^{}$$ = $$\int_{{V_1}}^{}$$ + $$\int_{{V_2}}^{}$$ = $$\int_{{S_1}}^{}$$ + $$\int_{{S_3}}^{}$$ + $$\int_{{S_2}}^{}$$ - $$\int_{{S_3}}^{}$$ = $$\int_{{S_1}}^{}$$ + $$\int_{{S_2}}^{}$$ = $$\oint_{{S^+}}^{}$$,

tal com voliem.

Figura 35: El teorema de Gauss per a un volum qualsevol

El teorema de Gauss és també vàlid si V té forats interiors, agafant, però, l'orientació de la cavitat cap a dintre. Per exemple, a la figura 36 tenim que V₁ = V₂ $\cup$ V. Podem aplicar el teorema de Gauss tant a V₁ com V₂, resultant

$$\oint_{{S_1^+}}^{}$$ = $$\int_{{V_1}}^{}$$,$$\oint_{{S_2^+}}^{}$$ = $$\int_{{V_2}}^{}$$.

Llavors

$$\oint_{{S_1^+}}^{}$$ = $$\int_{{V_1}}^{}$$ = $$\int_{{V_2}}^{}$$ + $$\int_{V}^{}$$ = $$\oint_{{S_2^+}}^{}$$ + $$\int_{V}^{}$$,

d'on

$$\int_{V}^{}$$ = $$\oint_{{S_1^+}}^{}$$ - $$\oint_{{S_2^+}}^{}$$ = $$\oint_{{S_1^+}}^{}$$ + $$\oint_{{S_2^-}}^{}$$,

que és el teorema de Gauss per a la regió amb cavitat.

Figura 36: Una regió amb cavitat. V₂ és la cavitat, V la regió que ens interessa i V₁ és la regió més la cavitat.

Exemple 21   Existeix, en dues dimensions, quelcom equivalent al teorema de Gauss?

Un camp s'anomena solenoıdal si, donada una corba tancada C⁺ qualsevol a l'espai, aleshores el flux de $\vec{F}$ a través de qualsevol superfıcie oberta S⁺ que tingui per vora C⁺ no depén de la S⁺ que s'agafi. El següent teorema permet identificar fàcilment els camps solenoıdals.

Sigui $\vec{F}$ un camp vectorial C¹ a tot $\ensuremath{\mathbbm{ R}^3}$. Aleshores les quatre afirmacions següents són equivalents:

1. per a qualsevol superfıcie tancada S es té
   $$\oint_{S}^{}$$$$\vec{F}$$ ^. d$$\vec{s}$$ = 0

2. $\vec{F}$ és solenoıdal,
3. $\vec{F}$ = $\vec{\nabla}$×$\vec{G}$, on $\vec{G}$ s'anomena el potencial vector de $\vec{F}$,
4. $\vec{\nabla}$ ^. $\vec{F}$ = 0.

$\Box$

La demostració es deixa com exercici. El més senzill és demostrar 1 $\Rightarrow$ 2, 2 $\Rightarrow$ 1, 3 $\Rightarrow$ 4, 4 $\Rightarrow$ 3, 4 $\Rightarrow$ 1 i 1 $\Rightarrow$ 4. D'aquestes implicacions, 4 $\Rightarrow$ 1 i 1 $\Rightarrow$ 4 utilitzen el teorema de Gauss, mentre que 4 $\Rightarrow$ 3, que és la demostració més complicada, es pot fer constructivament agafant

$$\int_{0}^{z} \int_{0}^{y}$$ G_x(x, y, z) =

$$\int_{0}^{z}$$ G_y(x, y, z) =

G_z(x, y, z) = 0.

Llavors és immediat veure que ($\vec{\nabla}$×$\vec{G}$)_x = F_x i que ($\vec{\nabla}$×$\vec{G}$)_y = F_y, mentre que ($\vec{\nabla}$×$\vec{G}$)_z = F_z requereix emprar que $\vec{F}$ té divergència nul-l ^. la. Noteu que l'especificació de $\vec{G}$ és prou arbitrària, ja que hi podem afegir qualsevol gradient. Podeu fer-ho si voleu obtenir un $\vec{G}$ més simètric respecte a les tres variables.

$\Diamond$ Es imprescindible que $\vec{F}$ no tingui cap punt singular, ja que sino no es pot emprar el teorema de Gauss: el volum que queda dins la superfıcie tancada contindrà necessariament el punt singular si aquest està dins de la mateixa! Naturalment, es pot donar una versió reduida del teorema en presència de punts singulars sempre que les superfıcies tancades que es considerin no els continguin, ni siguin escombrats quan canviem de superfıcie oberta amb vora fixada. D'altra banda, l'afirmació 3 $\Longleftrightarrow$ 4 és local i és vàlida a tot arreu on els camps existeixin. Ara bé, la definició de camp solenoıdal no és local i s'han de tenir en compte les restriccions esmentades.

Exemple 22   Retornant al teorema de caracterització de camps conservadors, podrieu donar una demostració local, inspirada en el que acabem de veure i en la construcció de f que allà donàvem, de que $\vec{\nabla}$×$\vec{F}$ = 0 implica que $\vec{F}$ = $\vec{\nabla}$f?