Les equacions de Maxwell

Les equacions de Maxwell descriuen el comportament de camps electromagnètics en presència o no de medis materials, i constitueixen el fonament teòric de quasi tota la nostra tecnologia.

En els cursos elementals de Fısica s'acostumen a deduir les equacions de Maxwell en forma integral en el buit. Formulades en termes del camp elèctric $\vec{E}$ i la inducció magnètica $\vec{B}$ són:

1. llei de Coulomb
   $$\oint_{{S^+}}^{}$$$$\vec{E}$$ ^. d$$\vec{s}$$ = $${\frac{{1}}{{\epsilon_0}}}$$$$\int_{V}^{}$$$$\rho$$ dxdydz,

2. absència de monopols magnètics
   $$\oint_{S}^{}$$$$\vec{B}$$ ^. d$$\vec{s}$$ = 0,

3. llei de Faraday-Henry
   $$\oint_{{C^+}}^{}$$$$\vec{E}$$ ^. d$$\vec{l}$$ = - $${\frac{{\partial}}{{\partial t}}}$$$$\int_{{S^+}}^{}$$$$\vec{B}$$ ^. d$$\vec{s}$$,

4. llei d'Ampere-Maxwell
   $$\oint_{{C^+}}^{}$$$$\vec{B}$$ ^. d$$\vec{l}$$ = $$\mu_{0}^{}$$$$\int_{{S^+}}^{}$$$$\vec{j}$$ ^. d$$\vec{s}$$ + $$\mu_{0}^{}$$$$\epsilon_{0}^{}$$$${\frac{{\partial}}{{\partial t}}}$$$$\oint_{{S^+}}^{}$$$$\vec{E}$$ ^. d$$\vec{s}$$.

Aquı $\epsilon_{0}^{}$ i $\mu_{0}^{}$ són, respectivament, la constant dielèctrica i la permeabilitat magnètica del buit, $\rho$ és la densitat de càrrega elèctrica lliure (l'única que pot haver-hi en el buit) i $\vec{j}$ és la densitat de corrent lliure. La contribució essencial de James Clerk Maxwell (1831-1879) va ser modificar la llei d'Ampere, afegint la darrera peça de la cuarta equació, en part per raons de simetria. Les conseqüències experimentals d'aquesta modificació les va confirmar Hertz l'any 1887, al produir i detectar ones electromagnètiques.

No sempre és convenient treballar amb les equacions de Maxwell en forma integral i, en particular, quan hom les ha de resoldre, a partir de $\rho$ i $\vec{j}$ i condicions inicials i/o de contorn donades, és convenient tenir equacions diferencials equivalents. Això és el que permeten els teoremes de Stokes i Gauss.

Comencem amb la primera equació. Emprant el teorema de Gauss, el membre de l'esquerra s'escriu com

$$\oint_{{S^+}}^{}$$$$\vec{E}$$ ^. d$$\vec{s}$$ = $$\int_{V}^{}$$$$\vec{\nabla}$$ ^. $$\vec{E}$$ dxdydz.

Queda aixı

$$\int_{V}^{}$$$$\vec{\nabla}$$ ^. $$\vec{E}$$ dxdydz = $${\frac{{1}}{{\epsilon_0}}}$$$$\int_{V}^{}$$$$\rho$$ dxdydz.

Com que això ha de ser vàlid per a qualsevol volum V, les funcions que s'integren hauran de ser iguals. Obtenim aixı

$$\vec{\nabla}$$ ^. $$\vec{E}$$ = $${\frac{{1}}{{\epsilon_0}}}$$$$\rho$$.

De la mateixa manera, a partir de la segona equació de Maxwell s'obté

$$\vec{\nabla}$$ ^. $$\vec{B}$$ = 0.

Agafem ara la tercera equació. Usant el teorema de Stokes, la integral de l'esquerra esdevé

$$\oint_{{C^+}}^{}$$$$\vec{E}$$ ^. d$$\vec{l}$$ = $$\int_{{S^+}}^{}$$($$\vec{\nabla}$$×$$\vec{E}$$) ^. d$$\vec{s}$$.

Tenint en compte, a més, que considerem S immòbil a l'espai,

$${\frac{{\partial}}{{\partial t}}}$$$$\int_{{S^+}}^{}$$$$\vec{B}$$ ^. d$$\vec{s}$$ = $$\int_{{S^+}}^{}$$$${\frac{{\partial\vec B}}{{\partial t}}}$$ ^. d$$\vec{s}$$.

Queda aixı

$$\int_{{S^+}}^{}$$($$\vec{\nabla}$$×$$\vec{E}$$) ^. d$$\vec{s}$$ = - $$\int_{{S^+}}^{}$$$${\frac{{\partial\vec B}}{{\partial t}}}$$ ^. d$$\vec{s}$$.

De nou, tenint en compte que la superfıcie S és qualsevol,

$$\vec{\nabla}$$×$$\vec{E}$$ = - $${\frac{{\partial\vec B}}{{\partial t}}}$$.

Anàlogament, de l'equació d'Ampere-Maxwell s'obté

$$\vec{\nabla}$$×$$\vec{B}$$ = $$\mu_{0}^{}$$$$\vec{j}$$ + $$\mu_{0}^{}$$$$\epsilon_{0}^{}$$$${\frac{{\partial\vec E}}{{\partial t}}}$$.

Hem obtingut aixı les equacions de Maxwell en forma diferencial

$$\vec{\nabla} \vec{E} {\frac{{\rho}}{{\epsilon_0}}}$$ = (1)

$$\vec{\nabla} \vec{B}$$ = 0 (2)

$$\vec{\nabla} \vec{E} {\frac{{\partial\vec B}}{{\partial t}}}$$ = (3)

$$\vec{\nabla} \vec{B} \mu_{0}^{} \vec{j} \mu_{0}^{} \epsilon_{0}^{} {\frac{{\partial\vec E}}{{\partial t}}}$$ = (4)

Aquestes equacions són igualment vàlides en medis materials [Ja] si $\rho$ representa la densitat de càrrega total (lliure + polarització) i $\vec{j}$ la densitat de corrent total (lliure + polarització + magnetització), encara que llavors és més convenient introduir el desplaçament elèctric $\vec{D}$,

$$\vec{D}$$ = $$\epsilon_{0}^{}$$$$\vec{E}$$ + $$\vec{P}$$,

on $\vec{P}$ és la polarització del medi, i el camp magnètic $\vec{H}$,

$$\vec{H}$$ = $${\frac{{\vec B}}{{\mu_0}}}$$ - $$\vec{M}$$,

on $\vec{M}$ és la magnetització del medi. En general, $\vec{P}$ i $\vec{M}$ dependran de $\vec{E}$ i $\vec{B}$ de forma molt complicada (anisotròpica, no lineal,...). Amb aquestes noves variables, les equacions de Maxwell queden

$$\vec{\nabla} \vec{D} \rho_{{lliure}}^{}$$ =

$$\vec{\nabla} \vec{B}$$ = 0

$$\vec{\nabla} \vec{E} {\frac{{\partial\vec B}}{{\partial t}}}$$ =

$$\vec{\nabla} \vec{H} \vec{j}_{{lliure}}^{} {\frac{{\partial\vec D}}{{\partial t}}}$$ =

Nosaltres treballarem amb les equacions de Maxwell en la forma (1)-(4).

Tenint en compte que les dues darreres equacions són vectorials, les equacions de Maxwell són, de fet, 1 + 1 + 3 + 3 = 8 equacions amb 3 + 3 = 6 incògnites (les tres components de $\vec{E}$ i les tres de $\vec{B}$). De fet, $\vec{E}$ i $\vec{B}$ no són funcionalment ``independents" i es poden expressar en termes de quantitats més fonamentals, anomenades potencials electromagnètics.

L'equació (2), $\vec{\nabla}$ ^. $\vec{B}$ = 0, ens està dient que $\vec{B}$ és un camp solenoıdal⁵ i, per tant, serà el rotacional d'un altre vector:

$$\vec{B} \vec{\nabla} \vec{A}$$ (5)

El vector $\vec{A}$ s'anomena potencial vector. Anant amb això a l'equació (3), tenim

$$\vec{\nabla}$$×$$\vec{E}$$ = - $${\frac{{\partial}}{{\partial t}}}$$$$\vec{\nabla}$$×$$\vec{A}$$ = - $$\vec{\nabla}$$×$${\frac{{\partial\vec A}}{{\partial t}}}$$,

és a dir,

$$\vec{\nabla}$$×$$\left(\vphantom{\vec E +\frac{\partial\vec A}{\partial t}}\right.$$$$\vec{E}$$ + $${\frac{{\partial\vec A}}{{\partial t}}}$$$$\left.\vphantom{\vec E +\frac{\partial\vec A}{\partial t}}\right)$$ = 0.

Això ens està dient que el vector entre parèntesis és un camp conservador,⁶ i, per tant, serà el gradient d'un camp escalar:

$$\vec{E} {\frac{{\partial\vec A}}{{\partial t}}} \vec{\nabla} \phi$$ (6)

El signe ``-'' s'agafa per conveni i la quantitat $\phi$ s'anomena potencial escalar. Quan no hi ha dependència temporal, $\phi$ es redueix al tradicional potencial electrostàtic. Fixem-nos que, en general, el camp elèctric no és conservador: el seu rotacional no és zero.

Les equacions (5) i (6) indiquen com obtenir $\vec{E}$ i $\vec{B}$ donats $\phi$ i $\vec{A}$. Tal com veurem més endavant, l'operació inversa no és possible, ja que hi ha molts $\vec{A}$ i $\phi$ que proporcionen els mateixos $\vec{E}$ i $\vec{B}$. Per arribar a (5) i (6) sols hem usat (2) i (3). Podem ara intentar expressar (1) i (4) en termes de $\vec{A}$ i $\phi$. Anant a (1) tenim

$$\vec{\nabla}$$ ^. $$\left(\vphantom{-\vec\nabla\phi-\frac{\partial\vec A}{\partial t}}\right.$$ - $$\vec{\nabla}$$$$\phi$$ - $${\frac{{\partial\vec A}}{{\partial t}}}$$$$\left.\vphantom{-\vec\nabla\phi-\frac{\partial\vec A}{\partial t}}\right)$$ = $${\frac{{\rho}}{{\epsilon_0}}}$$,

és a dir

$$\nabla^{2}_{} \phi {\frac{{\partial}}{{\partial t}}} \vec{\nabla} \vec{A} {\frac{{\rho}}{{\epsilon_0}}}$$ (7)

mentre que, de (4),

$$\vec{\nabla}$$×($$\vec{\nabla}$$×$$\vec{A}$$) = $$\mu_{0}^{}$$$$\vec{J}$$ + $$\mu_{0}^{}$$$$\epsilon_{0}^{}$$$${\frac{{\partial}}{{\partial t}}}$$$$\left(\vphantom{-\vec\nabla\phi-\frac{\partial\vec A}{\partial t}}\right.$$ - $$\vec{\nabla}$$$$\phi$$ - $${\frac{{\partial\vec A}}{{\partial t}}}$$$$\left.\vphantom{-\vec\nabla\phi-\frac{\partial\vec A}{\partial t}}\right)$$,

i, emprant les propietats de l'operador nabla per desenvolupar el doble rotacional, resulta

$$\nabla^{2}_{} \vec{A} \mu_{0}^{} \epsilon_{0}^{} {\frac{{\partial^2\vec A}}{{\partial t^2}}} \mu_{0}^{} \epsilon_{0}^{} \vec{\nabla} {\frac{{\partial\phi}}{{\partial t}}} \vec{\nabla} \vec{\nabla} \vec{A} \mu_{0}^{} \vec{j}$$ (8)

Les equacions (7) i (8) contenen la fısica de les equacions de Maxwell, mentre que (5) i (6) sols són un canvi de variables matemàtic.⁷ Fixem-nos que (7) i (8) són quatre equacions amb quatre incògnites.

Tal com hem dit, hi ha molts $\phi$ i $\vec{A}$ que produeixen els mateixos $\vec{E}$ i $\vec{B}$. En efecte, si a (5) i (6) fem el canvi

$$\vec{A} \longrightarrow \vec{A} \vec{\nabla} \varphi$$

$$\phi \longrightarrow \phi {\frac{{\partial\varphi}}{{\partial t}}}$$

amb $\varphi$ una funció $\varphi$(t, x, y, z) qualsevol, s'obtenen els mateixos $\vec{E}$ i $\vec{B}$. Pot demostrar-se que es pot emprar aquesta llibertat per triar uns potencials electromagnètics que verifiquin la relació, anomenada galga de Lorentz,⁸

$$\vec{\nabla} \vec{A} \mu_{0}^{} \epsilon_{0}^{} {\frac{{\partial\phi}}{{\partial t}}}$$ (9)

Amb aquesta condició, (7) i (8) es simplifiquen i resulta

$$\nabla^{2}_{} \phi \mu_{0}^{} \epsilon_{0}^{} {\frac{{\partial^2\phi}}{{\partial t^2}}} {\frac{{\rho}}{{\epsilon_0}}}$$ = (10)

$$\nabla^{2}_{} \vec{A} \mu_{0}^{} \epsilon_{0}^{} {\frac{{\partial^2\vec A}}{{\partial t^2}}} \mu_{0}^{} \vec{j}$$ = (11)

Si no tenim càrregues ($\rho$ = 0) ni corrents ( $\vec{j}$ = 0), ⁹ això és

$$\mu_{0}^{} \epsilon_{0}^{} {\frac{{\partial^2\phi}}{{\partial t^2}}} \nabla^{2}_{} \phi$$ =

$$\mu_{0}^{} \epsilon_{0}^{} {\frac{{\partial^2\vec A}}{{\partial t^2}}} \nabla^{2}_{} \vec{A}$$ =

és a dir, tant $\phi$ com cadascuna de les components de $\vec{A}$ verifiquen equacions d'ona a l'espai amb velocitat de propagació

c = $${\frac{{1}}{{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}}}$$

que, una vegada posats els valors experimentals de les constants dielèctrica i de permeabilitat magnètica, resulta ser la velocitat de la llum en el buit. Això va ser la confirmació de que la llum era un fenomen electromagnètic.

Exemple 23   Posant $\rho$ = 0 i $\vec{j}$ = 0 directament a les equacions de Maxwell (1)(2)(3)(4), deduiu, sense passar pels potencials electromagnètics, que les components de $\vec{E}$ i $\vec{B}$ també satisfan equacions d'ona amb velocitat 1/$\sqrt{{\mu_0\epsilon_0}}$:

$$\mu_{0}^{} \epsilon_{0}^{} {\frac{{\partial^2\vec E}}{{\partial t^2}}} \nabla^{2}_{} \vec{E}$$ =

$$\mu_{0}^{} \epsilon_{0}^{} {\frac{{\partial^2\vec B}}{{\partial t^2}}} \nabla^{2}_{} \vec{B}$$ =