Manipulacions vectorials avançades

El conveni de sumació d'Einstein permet desfer-se dels sımbols de sumatori. En concret, estableix que quan en un monomi, és a dir, un bloc que no està format per la suma d'altres, hi ha un ındex repetit, aleshores s'entén que hi ha un sumatori sobre els valors de l'ındex. Per exemple, si a $\ensuremath{\mathbbm{ R}^3}$ tenim dos vectors $\vec{a}$ = (a₁, a₂, a₃), $\vec{b}$ = (b₁, b₂, b₃), el seu producte escalar és

$$\vec{a}$$ ^. $$\vec{b}$$ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = $$\sum_{{i=1}}^{3}$$a_ib_i.

Amb el conveni d'Einstein això és simplement

$$\vec{a}$$ ^. $$\vec{b}$$ = a_ib_i.

Un exemple més complicat és el següent. Si tenim una matriu A amb elements A_ij, aleshores l'operació $\vec{a}$ = A$\vec{b}$,

$$\left(\vphantom{\begin{array}{c} a_1 a_2 a_3 \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} a_1 a_2 a_3 \end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{c} a_1 a_2 a_3 \end{array}}\right)$$ = $$\left(\vphantom{\begin{array}{ccc} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccc} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{ccc} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{array}}\right)$$$$\left(\vphantom{\begin{array}{c} b_1 b_2 b_3 \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c} b_1 b_2 b_3 \end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{c} b_1 b_2 b_3 \end{array}}\right)$$,

que implica

a₁ = A₁₁b₁ + A₁₂b₂ + A₁₃b₃,

a₂ = A₂₁b₁ + A₂₂b₂ + A₂₃b₃,

a₃ = A₃₁b₁ + A₃₂b₂ + A₃₃b₃,

s'expressa, amb el conveni d'Einstein, com

a_i = A_ijb_j.

Aquest darrer exemple mostra una propietat important del conveni: quan tenim una igualtat, els ındex lliures, és a dir, els ındex no repetits, han de ser els mateixos als dos costats. Si els dos costats són escalars, aleshores no hi pot haver cap ındex lliure. En el cas de vectors, hi ha d'haver un ındex lliure (el mateix a ambdós costats), que correspon a les seves components.

Exemple 24   Si A, B,... són matrius de les dimensions adients i $\vec{a}$,... són vectors, interpreteu les següents expressions:

1. A_ii (sol: traça de la matriu A)
2. A_ijB_jk (sol: element (ik) del producte AB)
3. A_ija_i (sol: element j del vector A^T$\vec{a}$)
4. A_ijB_kiC_kj (sol: traça de AC^TB)

Per tal de poder aplicar això a les operacions amb l'operador $\vec{\nabla}$ el representarem mitjançant

$$\vec{\nabla}$$ = ($$\partial_{1}^{}$$,$$\partial_{2}^{}$$,$$\partial_{3}^{}$$),

amb $\partial_{1}^{}$ = ${\frac{{\partial}}{{\partial x}}}$, etc. Amb això tindrem, per exemple,

($$\vec{\nabla}$$f )_i = $$\partial_{i}^{}$$f,

que vol dir que la component i -ésima del gradient de f és la derivada respecte de la variable i -ésima de f. Per la seva banda, la divergència (un escalar!) es representarà com

$$\vec{\nabla}$$ ^. $$\vec{F}$$ = $$\partial_{i}^{}$$F_i.

Què passa, però, amb el rotacional? Per tal de poder representar-lo amb aquesta notació, haurem d'introduir un objecte amb tres ındex, $\epsilon_{{ijk}}^{}$, definit per

$$\epsilon_{{123}}^{}$$ = +1,

$$\epsilon_{{\sigma(i)\sigma(j)\sigma(k)}}^{} \sigma \epsilon_{{ijk}}^{}$$ =

$$\epsilon_{{ijk}}^{}$$ = 0  .

Aquı $\sigma$(i)$\sigma$(j)$\sigma$(k) designa una permutació de ijk, és a dir, una reordenació dels ındex, i sign($\sigma$) és igual a (- 1)^N($\sigma$), on N($\sigma$) és el nombre de transposicions, és a dir, intercanvis d'elements, que s'han de fer per passar de ijk a $\sigma$(i)$\sigma$(j)$\sigma$(k). Per exemple,

312 $$\longrightarrow$$ 132 $$\longrightarrow$$ 123,

de manera que en aquest cas N = 2 i, per tant,

$$\epsilon_{{312}}^{}$$ = (- 1)²$$\epsilon_{{123}}^{}$$ = + 1.

En canvi,

321 $$\longrightarrow$$ 231 $$\longrightarrow$$ 213 $$\longrightarrow$$ 123,

N = 3 i $\epsilon_{{321}}^{}$ = (- 1)³$\epsilon_{{123}}^{}$ = - 1. Això permet calcular $\epsilon_{{ijk}}^{}$ amb els tres ındex diferents, mentre que si s'en repeteix algun el resultat és, per definició, zero:

$$\epsilon_{{112}}^{}$$ = $$\epsilon_{{113}}^{}$$ = $$\epsilon_{{111}}^{}$$ = $$\epsilon_{{122}}^{}$$ =...= $$\epsilon_{{333}}^{}$$ = 0.

Fixeu-vos que, siguin quins siguin els ındex, es tindran igualtats del tipus

$$\epsilon_{{ijk}}^{}$$ = - $$\epsilon_{{jik}}^{}$$ = $$\epsilon_{{jki}}^{}$$ = - $$\epsilon_{{kji}}^{}$$ =...

Utilitzant $\epsilon_{{ijk}}^{}$ el producte vectorial de dos vectors s'escriu

($$\vec{a}$$×$$\vec{b}$$)_i = $$\epsilon_{{ijk}}^{}$$a_jb_k.

La millor manera de veure-ho és comprovant-ho directament. Per exemple

$$\vec{a} \vec{b} \epsilon_{{1jk}}^{}$$ =

$$\mbox{(ha de ser $j=2,k=3$ o $j=3,k=2$)}$$

$$\epsilon_{{123}}^{} \epsilon_{{132}}^{}$$ =

tal com ha de ser. Podem ara ja representar el rotacional:

($$\vec{\nabla}$$×$$\vec{F}$$)_i = $$\epsilon_{{ijk}}^{}$$$$\partial_{j}^{}$$F_k.

Tot això sembla una forma relativament crıptica d'escriure expressions altrament trivials. El fet important, però, és que $\epsilon_{{ijk}}^{}$ gaudeix de propietats que simplifiquen molt les demostracions en les que intervé. Algunes d'elles són les següents:

$$\epsilon_{{ijk}}^{} \epsilon_{{ijk}}^{}$$ = 6,

$$\epsilon_{{ijk}}^{} \epsilon_{{ljk}}^{} \delta_{{il}}^{}$$ =

$$\epsilon_{{ijk}}^{} \epsilon_{{lmk}}^{} \delta_{{il}}^{} \delta_{{jm}}^{} \delta_{{im}}^{} \delta_{{jl}}^{}$$ =

on hem introduit la delta de Kronecker

$$\delta_{{ij}}^{}$$ = $$\left\{\vphantom{\begin{array}{cl} 1 & \mbox{si $i=j$}\\ 0 & \mbox{si $i\neq j$} \end{array} }\right.$$$$\begin{array}{cl} 1 & \mbox{si $i=j$}\\ 0 & \mbox{si $i\neq j$} \end{array}$$

Per exemple,

$$\epsilon_{{ijk}}^{} \epsilon_{{ljk}}^{} \epsilon_{{ij1}}^{} \epsilon_{{lj1}}^{} \epsilon_{{ij2}}^{} \epsilon_{{lj2}}^{} \epsilon_{{ij3}}^{} \epsilon_{{lj3}}^{}$$ =

$$\epsilon_{{i11}}^{} \epsilon_{{l11}}^{} \epsilon_{{i21}}^{} \epsilon_{{l21}}^{} \epsilon_{{i31}}^{} \epsilon_{{l31}}^{}$$

$$\epsilon_{{i12}}^{} \epsilon_{{l12}}^{} \epsilon_{{i22}}^{} \epsilon_{{l22}}^{} \epsilon_{{i32}}^{} \epsilon_{{l32}}^{}$$ +

$$\epsilon_{{i13}}^{} \epsilon_{{l13}}^{} \epsilon_{{i23}}^{} \epsilon_{{l23}}^{} \epsilon_{{i33}}^{} \epsilon_{{l33}}^{}$$ +

$$\epsilon_{{i12}}^{} \epsilon_{{l12}}^{} \epsilon_{{i31}}^{} \epsilon_{{l31}}^{} \epsilon_{{i23}}^{} \epsilon_{{l23}}^{}$$ =

La primera peça sols és diferent de zero si i = l = 3; llavors les altres peces són zero i el resultat val 2. Anàlogament, la segona peça sols és diferent de zero si i = l = 2, mentre que la tercera ho és si i = l = 1. En qualsevol cas, el resultat és 2 si i = l i 0 altrament:

$$\epsilon_{{ijk}}^{}$$$$\epsilon_{{ljk}}^{}$$ = 2$$\delta_{{il}}^{}$$.

Amb tota aquesta artilleria, les demostracions que impliquen l'operador nabla i productes vectorials són trivials. Per exemple, la propietat 7 de la secció 8 es demostra aixı:

$$\vec{\nabla} \vec{F} \vec{G} \epsilon_{{ijk}}^{} \partial_{j}^{} \vec{F} \vec{G} \epsilon_{{ijk}}^{} \partial_{j}^{} \epsilon_{{klm}}^{}$$ =

$$\epsilon_{{ijk}}^{} \epsilon_{{klm}}^{} \partial_{j}^{} \epsilon_{{ijk}}^{} \epsilon_{{klm}}^{} \partial_{j}^{} \partial_{j}^{}$$ =

$$\epsilon_{{ijk}}^{} \epsilon_{{lmk}}^{} \partial_{j}^{} \partial_{j}^{}$$ =

$$\delta_{{il}}^{} \delta_{{jm}}^{} \delta_{{im}}^{} \delta_{{jl}}^{} \partial_{j}^{} \partial_{j}^{}$$ =

Quan apareix una delta de Kronecker amb un ındex sumat, el sumatori s'efectua trivialment canviant a tot arreu l'ındex sumat per l'altre ındex de la delta i liquidant-la. Per exemple,

$$\delta_{{il}}^{}$$$$\delta_{{jm}}^{}$$$$\partial_{j}^{}$$F_lG_m = $$\delta_{{jm}}^{}$$$$\partial_{j}^{}$$F_iG_m = $$\partial_{m}^{}$$F_iG_m.

Per tant,

$$\vec{\nabla} \vec{F} \vec{G} \partial_{m}^{} \partial_{m}^{} \partial_{l}^{} \partial_{j}^{}$$ =

$$\partial_{m}^{} \partial_{l}^{} \partial_{j}^{} \partial_{m}^{}$$ =

$$\vec{G} \vec{\nabla} \vec{\nabla} \vec{F} \vec{F} \vec{\nabla} \vec{\nabla} \vec{G}$$ =

$$\left(\vphantom{(\vec G\cdot\vec\nabla)\vec F-\vec G(\vec\nabla\cdot\vec F) -(\vec F\cdot\vec\nabla)\vec G+\vec F(\vec\nabla\cdot\vec G)}\right. \vec{G} \vec{\nabla} \vec{F} \vec{G} \vec{\nabla} \vec{F} \vec{F} \vec{\nabla} \vec{G} \vec{F} \vec{\nabla} \vec{G} \left.\vphantom{(\vec G\cdot\vec\nabla)\vec F-\vec G(\vec\nabla\c... ... F) -(\vec F\cdot\vec\nabla)\vec G+\vec F(\vec\nabla\cdot\vec G)}\right)_{i}^{}$$ =

Com a darrer exemple comsiderem la propietat 11:

$$\vec{\nabla} \vec{\nabla} \vec{F} \epsilon_{{ijk}}^{} \partial_{j}^{} \vec{\nabla} \vec{F} \epsilon_{{ijk}}^{} \partial_{j}^{} \epsilon_{{klm}}^{} \partial_{l}^{}$$ =

$$\epsilon_{{ijk}}^{} \epsilon_{{klm}}^{} \partial_{j}^{} \partial_{l}^{} \epsilon_{{ijk}}^{} \epsilon_{{lmk}}^{} \partial_{j}^{} \partial_{l}^{}$$ =

$$\delta_{{il}}^{} \delta_{{jm}}^{} \delta_{{im}}^{} \delta_{{jl}}^{} \delta_{j}^{} \delta_{l}^{} \partial_{m}^{} \partial_{i}^{} \partial_{j}^{} \partial_{j}^{}$$ =

$$\partial_{i}^{} \partial_{m}^{} \partial_{j}^{} \partial_{j}^{} \partial_{i}^{} \vec{\nabla} \vec{F} \nabla^{2}_{}$$ =

$$\vec{\nabla} \vec{\nabla} \vec{F} \nabla^{2}_{} \vec{F}$$ =