Camins i corbes

A $\ensuremath{\mathbbm{ R}^2}$ una corba pot presentar-se en forma explıcita, quan la corba és la gràfica d'una funció,

y = f (x),

o implıcita,

f (x, y) = 0.

Cap d'aquestes formes és especialment còmoda, i els problemes aumenten al passar a $\ensuremath{\mathbbm{ R}^n}$, n > 2. Per exemple, a $\ensuremath{\mathbbm{ R}^3}$ la forma explıcita seria

$$\left\{\vphantom{\begin{array}{c} y=f(x)\\ z=g(x), \end{array} }\right.$$$$\begin{array}{c} y=f(x)\\ z=g(x), \end{array}$$

mentre que la implıcita vindria donada mitjançant la intersecció de dues superfıcies

$$\left\{\vphantom{\begin{array}{c} f(x,y,z)=0\\ g(x,y,z)=0. \end{array} }\right.$$$$\begin{array}{c} f(x,y,z)=0\\ g(x,y,z)=0. \end{array}$$

Les formes explıcites tenen l'inconvenient de privilegiar una variable, en els exemples anteriors x, i no sempre es pot utilitzar, mentre que la forma implıcita, si bé és simètrica respecte a les variables, es complica força quan aumenta n, i no és gens intuitiva. Anem ara a introduir una tercera forma, la paramètrica, que resol aquests inconvenients i que a més es generalitza fàcilment a objectes de dimensió superior (i.e. superfıcies).

Un camı o representació paramètrica és una aplicació contınua d'un interval tancat de $\ensuremath{\mathbbm{ R}}$ en $\ensuremath{\mathbbm{ R}^n}$:

$$\sigma$$ :	[a, b]	$$\longrightarrow$$	$$\mathbbm$$Rn
	t	$$\longmapsto$$	$$\sigma$$(t) = ($$\sigma_{1}^{}$$(t),...,$$\sigma_{n}^{}$$(t))

Això apareix representat a la Figura 1.

$\Diamond$ $\sigma$(t) és un vector de $\ensuremath{\mathbbm{ R}^n}$, però no emprarem, llevat de situacions molt concretes, la notació vectorial amb la fletxa o negreta. El lector hauria de començar a saber distingir el que té entre mans pel contexte on apareix.

Els punts $\sigma$(a) = A i $\sigma$(b) = B s'anomenen extrems del camı. La gràfica d'un camı, que és un conjunt de punts a $\ensuremath{\mathbbm{ R}^n}$, s'anomena corba.

Figura: Un camı a $\ensuremath{\mathbbm{ R}^n}$

Cal distingir entre camı i corba ja que diferents camins, és a dir, diferentes aplicacions o intervals, poden donar lloc a una mateixa corba. Es diu que un camı donat proporciona una parametrització de la corba i t s'anomena llavors el paràmetre.

Exemple 1   La circumferència a $\ensuremath{\mathbbm{ R}^2}$ de centre (x₀, y₀) i radi a és, en forma implıcita,

(x - x₀)² + (y - y₀)² = a².

En forma explıcita això requereix dues branques

y = y₀±$$\sqrt{{a^2-(x-x_0)^2}}$$.

Una possible parametrització és

$$\sigma$$ :	[0, 2$$\pi$$]	$$\longrightarrow$$	$$\mathbbm$$R2
	t	$$\longmapsto$$	(x0 + a cos t, y0 + a sin t)

El paràmetre és en aquest cas l'angle.

Exemple 2   Siguin els tres camins

$$\sigma$$ :	[0, 1]	$$\longrightarrow$$	$$\mathbbm$$R2
	t	$$\longmapsto$$	(t, t2)

$$\bar{\sigma}$$ :	[0, 1]	$$\longrightarrow$$	$$\mathbbm$$R2
	t	$$\longmapsto$$	(t2, t4)

$$\bar{{\bar\sigma}}$$ :	[0, 1]	$$\longrightarrow$$	$$\mathbbm$$R2
	t	$$\longmapsto$$	(1 - t,(1 - t)2)

Podem intentar trobar la forma explıcita de les corbes per veure que tenim exactament. Això es fa eliminant el paràmetre entre les equacions. Per exemple, per al camı $\sigma$ tenim

$$\sigma$$(t) = (t, t²) $$\Longrightarrow$$  $$\left\{\vphantom{\begin{array}{c} x=t\\ y=t^2 \end{array} }\right.$$$$\begin{array}{c} x=t\\ y=t^2 \end{array}$$

i, eliminant t, queda y = x². A més, per a t = 0 tenim x = 0, y = 0, mentre que per a t = 1 resulta x = 1, y = 1, de manera que la corba és el tros de paràbola representat a la figura 2.

Figura 2: Un tros de paràbola

Es fàcil comprovar que $\bar{\sigma}$ i $\bar{{\bar\sigma}}$ proporcionen la mateixa corba, amb la diferència que $\bar{{\bar\sigma}}$ comença a (1, 1) i acaba a (0, 0). Es diu que $\bar{{\bar\sigma}}$ té orientació contrària a $\sigma$ i $\bar{\sigma}$. Aquest és un exemple de tres camins i una sola corba.

$\Diamond$ Els camins sempre comencen pel valor del paràmetre a amb a < b. No val, per exemple, dir que el paràmetre varia entre t = 1 i t = 0.

$\Diamond$ El camı queda definit per la forma de l'aplicació i per l'interval. Si qualsevol dels dos varia tenim un altre camı, encara que potser sigui la mateixa corba.

$\Diamond$ La forma explıcita d'una corba y = f (x) es pot pensar com una parametrització en què t = x:

$$\left\{\vphantom{\begin{array}{c} x=t\\ y=f(t) \end{array} }\right.$$$$\begin{array}{c} x=t\\ y=f(t) \end{array}$$

En general ens interessaran camins C¹, o al menys C¹ a trosos. Demanar que $\sigma$ sigui C¹ en un punt vol dir que les components $\sigma_{1}^{}$,...,$\sigma_{n}^{}$ siguin derivables amb derivada contınua en el punt. C¹ a trosos vol dir que és C¹ excepte en un nombre finit de punts, on la derivada pot no existir o presentar discontinuıtats de salt o evitables (però no infinits). En cap cas admetrem camins que no siguin continus.

Exemple 3   El camı $\sigma : [-1,1]\longrightarrow\ensuremath{\mathbbm{ R}^2}$ definit per

$$\sigma$$(t) = $$\left\{\vphantom{\begin{array}{cl} (t,t) & \mbox{si $t\leq 1/3$... ...rac{1}{4},\frac{2}{3} t) & \mbox{$1/2\leq t\leq 1$}, \end{array} }\right.$$$$\begin{array}{cl} (t,t) & \mbox{si $t\leq 1/3$}\\ (t,\frac{... ... (t^2+\frac{1}{4},\frac{2}{3} t) & \mbox{$1/2\leq t\leq 1$}, \end{array}$$

la corba corresponent al qual és a la figura 3, és C¹ a trosos.

Figura: Un camı C¹ a trosos

Com que $\sigma :\ensuremath{\mathbbm{ R}}\longrightarrow\ensuremath{\mathbbm{ R}^n}$, la derivada en un punt serà una matriu d'una columna i n files:

D$$\sigma$$(t₀) = $$\left(\vphantom{\begin{array}{c} \frac{\text{d}\sigma_1}{\text{... ... \vdots \\ \frac{\text{d}\sigma_n}{\text{d}t}(t_0) \end{array} }\right.$$$$\begin{array}{c} \frac{\text{d}\sigma_1}{\text{d}t}(t_0)\\ \vdots \\ \frac{\text{d}\sigma_n}{\text{d}t}(t_0) \end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{c} \frac{\text{d}\sigma_1}{\text{... ... \vdots \\ \frac{\text{d}\sigma_n}{\text{d}t}(t_0) \end{array} }\right)$$ = $$\left(\vphantom{\begin{array}{c} \sigma_1'(t_0) \\ \vdots \\ \sigma_n'(t_0) \end{array} }\right.$$$$\begin{array}{c} \sigma_1'(t_0) \\ \vdots \\ \sigma_n'(t_0) \end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{c} \sigma_1'(t_0) \\ \vdots \\ \sigma_n'(t_0) \end{array} }\right)$$

Per raons històriques i tipogràfiques, però, s'escriu això com un vector fila

D$$\sigma$$(t₀) $$\equiv$$ $$\sigma{^\prime}$$(t₀) = $$\left(\vphantom{\sigma_1'(t_0), \ldots,\sigma_n'(t_0)}\right.$$$$\sigma_{1}{^\prime}$$(t₀),...,$$\sigma_{n}{^\prime}$$(t₀)$$\left.\vphantom{\sigma_1'(t_0), \ldots,\sigma_n'(t_0)}\right)$$.

A $\ensuremath{\mathbbm{ R}^3}$, per exemple, si anomenem x, y, z les components de $\sigma$,

$$\sigma{^\prime}$$(t₀) = (x'(t₀), y'(t₀), z'(t₀)).

Per definició,

$$\sigma_{i}{^\prime}$$(t₀) = $$\lim_{{h\to 0}}^{}$$$${\frac{{\sigma_i(t_0+h)-\sigma_i(t_0)}}{{h}}}$$,   i = 1,..., n.

Considerant totes les components en el vector, serà

$$\sigma{^\prime} \left(\vphantom{\sigma_1'(t_0), \ldots,\sigma_n'(t_0)}\right. \sigma_{1}{^\prime} \sigma_{n}{^\prime} \left.\vphantom{\sigma_1'(t_0), \ldots,\sigma_n'(t_0)}\right)$$ =

$$\left(\vphantom{\lim_{h\to 0}\frac{\sigma_1(t_0+h)-\sigma_1(t_0)}{h} ,\ldots, \lim_{h\to 0}\frac{\sigma_n(t_0+h)-\sigma_n(t_0)}{h} }\right. \lim_{{h\to 0}}^{} {\frac{{\sigma_1(t_0+h)-\sigma_1(t_0)}}{{h}}} \lim_{{h\to 0}}^{} {\frac{{\sigma_n(t_0+h)-\sigma_n(t_0)}}{{h}}} \left.\vphantom{\lim_{h\to 0}\frac{\sigma_1(t_0+h)-\sigma_1(t_0)}{h} ,\ldots, \lim_{h\to 0}\frac{\sigma_n(t_0+h)-\sigma_n(t_0)}{h} }\right)$$ =

$$\lim_{{h\to 0}}^{} {\frac{{\left(\sigma_1(t_0+h),\ldots,\sigma_n(t_0+h)\right) - \left(\sigma_1(t_0),\ldots,\sigma_n(t_0)\right)}}{{h}}}$$ =

$$\lim_{{h\to 0}}^{} {\frac{{\sigma(t_0+h)-\sigma(t_0)}}{{h}}}$$ =

Això té una interpretació geomètrica molt senzilla (figura 4).

Figura: Interpretació de la derivada d'un camı

En el lımit h$\to$ 0 obtindrem $\sigma{^\prime}$(t₀), que serà un vector tangent a la corba en el punt $\sigma_{(}^{}$t₀). Per aquesta raò, $\sigma{^\prime}$ s'anomena velocitat. La direcció de $\sigma{^\prime}$ és quelcom intrınsec de la corba, però |$\sigma{^\prime}$| depén del camı.

$\Diamond$ En les aplicacions cinemàtiques, t és el temps i $\sigma$(t) = $\vec{r}$(t) és el vector posició. Aleshores $\sigma{^\prime}$(t) = $\vec{v}$(t) és la velocitat habitual.

Exemple 4   En l'exemple 2, per a t = 0.1 tenim $\sigma$(0.1) = (0.1, 0.01), $\bar{\sigma}$(0.1) = (0.01, 0.0001). Com que $\sigma$(0) = $\bar{\sigma}$(0) = (0, 0), el camı $\sigma$ es mou, entre t = 0 i t = 0.1, més depressa que el camı $\bar{\sigma}$, sobre la mateixa corba. A partir d'un cert moment (quin?) $\bar{\sigma}$ és més ràpid i, finalment, per a t = 1, tots dos són a (1, 1).

Exemple 5   Sigui la circumferència de centre (0, 0) i radi a. Un possible camı és

$$\sigma$$(t) = (a cos($$\omega$$t), a sin($$\omega$$t)),   t $$\in$$ [0, 2$$\pi$$/$$\omega$$],

amb $\omega$ $\neq$ 0. Tenim

$$\sigma{^\prime}$$(t) = (- a$$\omega$$sin($$\omega$$t), a$$\omega$$cos($$\omega$$t)).

Cal observar que |$\sigma{^\prime}$(t)| = a$\omega$, és a dir, la velocitat és constant en mòdul. Això és una propietat del camı, no de la corba. A més,

$$\sigma$$(t) ^. $$\sigma{^\prime}$$(t) = - a²$$\omega$$cos($$\omega$$t)sin($$\omega$$t) + a²$$\omega$$sin($$\omega$$t)cos($$\omega$$t) = 0,

és a dir, el vector posició i la velocitat són perpendiculars, tal com ha de ser. Això és una caracterıstica de la corba, independentment de la parametrització escollida.

Exemple 6   Estudieu $\sigma$(t) = (a cos($\omega^{2}_{}$t²), a sin($\omega^{2}_{}$t²)), t $\in$ [0,$\sqrt{{\frac{2\pi}{\omega}}}$].

Un camı C¹ s'anomena regular si la velocitat no s'anul-l ^. la a cap punt interior

$$\sigma{^\prime}$$(t) $$\neq$$ 0   si t $\in$ (a, b).

Una corba s'anomena tancada si existeix un camı tal que $\sigma$(a) = $\sigma$(b) (figura 5).

Figura 5: Una corba tancada

Una corba s'anomena simple si existeix al menys un camı injectiu en els punts interiors

$$\sigma$$(t) = $$\sigma$$(t')  $$\Longrightarrow$$  t = t', $$\forall$$t, t' $$\in$$ (a, b).

Exemple 7   Sigui $\sigma : [-1,1]\longrightarrow\ensuremath{\mathbbm{ R}^2}$, $\sigma$(t) = (t³, t²). Això és C¹ ja que $\sigma{^\prime}$(t) = (3t², 2t) és contınua. Tenim però que $\sigma{^\prime}$(0) = (0, 0), 0 $\in$ (- 1, 1), i per tant el camı no és regular.

Pot ser que quan el camı no és regular la corba presenti una ``punxa" o punt de retrocés, tal com passa a l'exemple 7. La corba és, implıcitament, y³ = x², i, explıcitament, y = $\sqrt[3]{{x^2}}$, amb pendent infinit a x = 0 (veure figura 6).

Figura 6: Una corba amb punxa

Altres vegades, però, la no regularitat és simplement un problema del camı, no de la corba. En canvi, el fet de ser tancada o simple és, per construcció, una propietat de la corba.

Sigui una corba a $\ensuremath{\mathbbm{ R}^n}$ i sigui $\sigma$ un camı C¹ de la mateixa, injectiu a tot arreu excepte possiblement en un nombre finit de punts. Definim llavors la longitud de la corba com

l ($$\sigma$$) = $$\int_{a}^{b}$$|$$\sigma{^\prime}$$(t)| dt.

Veurem que això no depén del camı injectiu que s'agafi i que, per tant, podem parlar de la longitud de la corba. Si l'interval [a, b] no és finit, l'anterior integral és impròpia i s'ha de veure si existeix. Si no existeix, la corba té longitud infinita.

$\Diamond$ La definició que hem donat de longitud d'una corba és força natural si pensem que t és el temps i |$\sigma{^\prime}$(t)| representa el mòdul de la velocitat. La integral del mòdul de la velocitat dóna l'espai recorregut, és a dir, la longitud de la corba.

$\Diamond$ Si $\sigma$ és C¹ a trosos, aleshores definim la longitud de la corba trencant l'interval d'integració tal com pertoqui.

Exemple 8   Per a la circumferència de l'exemple 1 tenim

$$\sigma{^\prime}$$ = (- a sin t, a cos t),

$$\sigma{^\prime} \sqrt{{(-a\sin t)^2+(a\cos t)^2}}$$ =

$$\sigma \int_{0}^{{2\pi}} \pi$$ =

tal com ha de ser.

Un cas particular de la longitud d'una corba s'obté considerant una corba a $\ensuremath{\mathbbm{ R}^2}$ en forma explıcita. Sigui $\sigma :[a,b]\longrightarrow\ensuremath{\mathbbm{ R}^2}$, $\sigma$(t) = (x(t), y(t)), de classe C¹ i injectiu. Tenim

l ($$\sigma$$) = $$\int_{a}^{b}$$$$\sqrt{{(x'(t))^2+(y'(t))^2}}$$ dt.

Si la corba es pot possar en forma explıcita, y = f (x), x_a $\leq$ x $\leq$ x_b, la funció x = x(t) haurà de ser inversible, de manera que t = $\psi$(x). Llavors y = y($\psi$(x)) = f (x). Efectuem ara a la integral el canvi de variables t = $\psi$(x). Resulta

l ($$\sigma$$) = $$\int_{{x_a}}^{{x_b}}$$$$\sqrt{{(x'(\psi(x)))^2+(y'(\psi(x)))^2}}$$$$\psi{^\prime}$$(x) dx.

Però, emprant la regla de la cadena,

$$\psi \Longrightarrow \psi \psi{^\prime}$$

$$\psi \Longrightarrow \psi \psi{^\prime}$$

Llavors, si $\psi{^\prime}$(x) $\geq$ 0, és a dir, si t no disminueix quan aumenta x, tindrem¹

$$\sigma \int_{{x_a}}^{{x_b}} \sqrt{{(x'(\psi(x))\psi'(x))^2+(y'(\psi(x))\psi'(x))^2}}$$ =

$$\int_{{x_a}}^{{x_b}} \sqrt{{1+(f'(x))^2}}$$ =

Aquesta és l'expressió de la longitud d'una corba a $\ensuremath{\mathbbm{ R}^2}$ donada en forma explıcita y = f (x).