Integral sobre una corba d'una funció escalar

Donat un camı $\sigma :[a,b]\longrightarrow\ensuremath{\mathbbm{ R}^n}$, C¹ i injectiu, ² i una funció escalar $f:\ensuremath{\mathbbm{ R}^n}\longrightarrow\ensuremath{\mathbbm{ R}}$, podem construir la funció composta $f\circ\sigma:[a,b]\longrightarrow\ensuremath{\mathbbm{ R}}$. Es defineix aleshores la integral de f sobre el camı $\sigma$ com

$$\int_{\sigma}^{}$$f = $$\int_{a}^{b}$$f ($$\sigma$$(t))|$$\sigma{^\prime}$$(t)| dt.

Veurem que, dins la classe de camins injectius, la integral no depén del camı, i per tant és pròpia de la corba considerada, de manera que podrem escriure, si C és la corba corresponent a $\sigma$,

$$\int_{C}^{}$$f.

Podem interpretar la integral d'una funció escalar de la següent manera. Sigui una partició de l'interval [a, b],

$$\cup_{{i=1}}^{N}$$ [a, b] =

$$\Delta$$ = t_i - t_i-1,  i = 1,..., N.

Això indueix una partició sobre la corba (veure figura 7).

Figura 7: Partició induıda sobre la corba

Podem ara fer una suma de Riemann de (fo$\sigma$)|$\sigma{^\prime}$|:

$$\sum_{{i=1}}^{N}$$f ($$\sigma$$($$\xi_{i}^{}$$))|$$\sigma{^\prime}$$($$\xi_{i}^{}$$)|$$\Delta$$t_i, $$\xi_{i}^{}$$ $$\in$$ [t_i-1, t_i].

La quantitat |$\sigma{^\prime}$($\xi_{i}^{}$)|$\Delta$t_i serà una aproximació a la longitud de la corba entre $\sigma$(t_i-1) i $\sigma$(t_i). Si ara, per exemple, f representa la densitat de massa lineal de la corda,

f ($$\sigma$$($$\xi_{i}^{}$$))|$$\sigma{^\prime}$$($$\xi_{i}^{}$$)|$$\Delta$$t_i

serà una aproximació a la massa d'aquest tros i el sumatori aproximarà la massa total de la corba. Si ara fem {&Delta#Delta;t_i}&rarr#to;0, tindrem, si existeix, la integral

$$\int_{a}^{b}$$f ($$\sigma$$(t))|$$\sigma{^\prime}$$(t)| dt,

que representarà la massa total de la corda.

$\Diamond$ Si f és la funció constant f = 1, aleshores

$$\int_{\sigma}^{}$$1 = l ($$\sigma$$).

La longitud de la corba és, per tant, un cas particular de la integral d'una funció escalar.

S'anomena valor promig de f sobre el camı a

$$\bar{f}_{\sigma}^{}$$ = $${\frac{{\int_\sigma f}}{{l(\sigma)}}}$$.

$\Diamond$ Sigui s($\tau$) la longitud de la corba entre t = a i t = $\tau$:

s($$\tau$$) = $$\int_{a}^{\tau}$$|$$\sigma{^\prime}$$(t)| dt.

Tenim aleshores

s'(t) = |$$\sigma{^\prime}$$(t)|.

La variable s s'anomena paràmetre natural de la corba i, amb aquest paràmetre,

|$$\sigma_{{nat}}{^\prime}$$(s)| = 1,

amb $\sigma_{{nat}}^{}$(s) = $\sigma$(t(s)), on t(s) s'obté invertint s(t), obtinguda a partir d'una parametrització $\sigma$(t) qualsevol (injectiva), de manera que

$$\int_{{\sigma_{nat}}}^{}$$f = $$\int_{0}^{{l(\sigma)}}$$f ($$\sigma_{{nat}}^{}$$(s)) ds.