Integral sobre una corba d'una funció vectorial

Sigui $F:\ensuremath{\mathbbm{ R}^n}\longrightarrow\ensuremath{\mathbbm{ R}^n}$ una funció vectorial a $\ensuremath{\mathbbm{ R}^n}$, també anomenada camp vectorial.

$\Diamond$ A partir d'ara, quan ens interessi destacar el caràcter vectorial d'una funció hi posarem fletxa, i el mateix farem amb les paramtritzacions i les seves derivades.

Sigui $\sigma :[a,b]\longrightarrow\ensuremath{\mathbbm{ R}^n}$ un camı i considerem $\vec{F}$ calculat en un punt del camı, $\vec{F}$($\sigma$(t)). Volem considerar la projecció de $\vec{F}$($\sigma$(t)) en la direcció del vector tangent a la corba (veure figura 8). Si anomenem F_T($\sigma$(t)) aquesta projecció, serà

F_T($$\sigma$$(t)) = $$\vec{F}$$($$\sigma$$(t)) ^. $${\frac{{\vec\sigma'(t)}}{{\Vert\sigma'(t)\Vert}}}$$,

ja que ${\frac{{\displaystyle \vec\sigma'(t)}}{{\displaystyle \Vert\sigma'(t)\Vert}}}$ és un vector unitari en la direcció considerada.

Figura 8: Projecció d'un camp vectorial sobre una corba

La integral de $\vec{F}$ sobre el camı $\sigma$, anomenada també integral de linia de $\vec{F}$ sobre $\sigma$, es representa i ve definida per

$$\int_{\sigma}^{}$$$$\vec{F}$$ ^.  d$$\vec{l}$$ = $$\int_{\sigma}^{}$$F_T,

és a dir, es redueix al càlcul d'una integral de les que ja coneixem. La forma especial de F_T fa, però, que tot sigui molt més senzill:

$$\int_{\sigma}^{} \vec{F} \vec{l} \int_{\sigma}^{} \int_{\sigma}^{} \vec{F} {\frac{{\vec\sigma'}}{{\Vert\sigma'\Vert}}}$$ =

$$\int_{a}^{b} \left(\vphantom{\vec F(\sigma(t)) \cdot \frac{\vec\sigma'(t)}{\Vert\sigma'(t)\Vert}}\right. \vec{F} \sigma {\frac{{\vec\sigma'(t)}}{{\Vert\sigma'(t)\Vert}}} \left.\vphantom{\vec F(\sigma(t)) \cdot \frac{\vec\sigma'(t)}{\Vert\sigma'(t)\Vert}}\right) \sigma{^\prime}$$ =

$$\int_{a}^{b} \vec{F} \sigma \vec{\sigma}{^\prime}$$ =

Per tant les integrals de funcions vectorials són més fàcils de calcular que les de les funcions escalars, ja que desapareix el factor |$\sigma{^\prime}$(t)|, que sovint dificulta molt el càlcul de la primitiva.

$\Diamond$ Si $\vec{F}$ representa una força, aleshores $\int_{\sigma}^{}$$\vec{F}$ ^. d$\vec{l}$ és el treball que fa la força al desplaçar el seu punt d'aplicació al llarg de la corba.

$\Diamond$ Si la corba és tancada, aleshores la integral es representa per

$$\oint_{\sigma}^{}$$$$\vec{F}$$ ^. d$$\vec{l}$$,

i s'anomena la circulació de $\vec{F}$ sobre la corba.

$\Diamond$ Veurem que, llevat d'un signe, la integral no depén del camı injectiu que s'agafi, i, per tant, té sentit parlar de la integral sobre la corba, de manera que podrem escriure, si C és la corba amb orientació donada,

$$\int_{C}^{}$$$$\vec{F}$$ ^. d$$\vec{l}$$.

A vegades s'utilitza la notació de formes diferencials. Per exemple, a $\ensuremath{\mathbbm{ R}^3}$,

$$\int_{\sigma}^{}$$F_x dx + F_y dy + F_z dz

vol dir la integral de $\vec{F}$ = (F_x, F_y, F_z) sobre $\sigma$. La justificació naif és que

dx = x'(t) dt,

dy = y'(t) dt,

dz = z'(t) dt,

i, aleshores,

$$\int_{\sigma}^{}$$F_x dx + F_y dy + F_z dz = $$\int_{a}^{b}$$(F_xx'(t) + F_yy'(t) + F_zz'(t)) dt = $$\int_{a}^{b}$$($$\vec{F}$$ ^. $$\vec{\sigma}{^\prime}$$) dt.

La justificació rigurosa d'això requereix, però, un aparell matemàtic més elaborat ([Spi]).