Independència de la integral respecte del camı injectiu escollit

Siguin $\sigma_{1}^{}$ i $\sigma_{2}^{}$ dos camins injectius de classe C¹ que representen la mateixa corba a $\ensuremath{\mathbbm{ R}^n}$,

$$\sigma_{1}^{} \longrightarrow \mathbbm$$ :

$$\sigma_2 : [a_2,b_2]\longrightarrow\ensuremath{\mathbbm{ R}^n}.$$

Això voldrà dir que existeix una funció h

h : [a₂, b₂] $$\longrightarrow$$ [a₁, b₁],

de classe C¹, tal que (vegeu figura 9)

$$\sigma_{2}^{}$$ = $$\sigma_{1}^{}$$oh.

Figura 9: Dues parametritzacions d'una mateixa corba

De fet, si els dos camins són injectius, sols hi ha dues possibilitats:

• h'(t) $\geq$ 0 $\forall$ t, i llavors h(a₂) = a₁, h(b₂) = b₁,
• h'(t) $\leq$ 0 $\forall$ t, i llavors h(a₂) = b₁, h(b₂) = a₁,

tal com mostra la figura 10. En el primer cas, h' $\geq$ 0, els dos camins tenen la mateixa orientació i en el segon cas, h' $\leq$ 0, tenen orientació oposada.

Figura 10: Les dues possibilitats per a la funció h

Exemple 9   Si considerem els tres camins de l'exemple 2, és fàcil veure que

• $\bar{\sigma}$ = $\sigma$oh, amb h(t) = t², h'(t) = 2t $\geq$ 0,
• $\bar{{\bar\sigma}}$ = $\sigma$oh, amb h(t) = 1 - t, h'(t) = - 1 $\geq$ 0,
• $\bar{\sigma}$ = $\bar{{\bar\sigma}}$oh, amb h(t) = 1 - t², h'(t) = - 2t $\leq$ 0.

$\sigma$ i $\bar{\sigma}$ tenen una orientació, i $\bar{{\bar\sigma}}$ té l'oposada.

Si dos camins, encara que no siguin injectius, són C¹ i estan relacionats per una h com la considerada (monòtona), s'anomenen equivalents.

Exemple 10   Demostreu que els camins $\sigma_1:[0,2\pi]\longrightarrow\ensuremath{\mathbbm{ R}^2}$ i $\sigma_2:[0,4\pi]\longrightarrow\ensuremath{\mathbbm{ R}^2}$ donats per $\sigma_{1}^{}$(t) = (cos t, sin t), $\sigma_{2}^{}$(t) = (cos(t), sin t) no són equivalents, malgrat que descriuen la mateixa corba.

Exemple 11   Demostreu que els camins en el pla

$$\sigma_{1}^{} \in$$ =

$$\sigma_{2}^{} \in$$ =

no són equivalents, malgrat descriure ambdós el mateix tros de paràbola. Què fa exactament el camı $\sigma_{1}^{}$?

Estem ara en condicions d'enunciar i demostrar el resultat central d'aquesta secció.

Siguin $\sigma_1:[a_1,b_1]\longrightarrow\ensuremath{\mathbbm{ R}^n}$, $\sigma_2:[a_2,b_2]\longrightarrow\ensuremath{\mathbbm{ R}^n}$ dos camins equivalents i siguin f i F dos camps, escalar i vectorial respectivament. Aleshores

(a)

$$\int_{{\sigma_1}}^{}$$f = $$\int_{{\sigma_2}}^{}$$f,

(b)

$$\int_{{\sigma_1}}^{}$$$$\vec{F}$$ ^. d$$\vec{l}$$ = ±$$\int_{{\sigma_2}}^{}$$$$\vec{F}$$ ^. d$$\vec{l}$$,

amb ``+" si $\sigma_{1}^{}$ i $\sigma_{2}^{}$ tenen la mateixa orientació i ``-" si la tenen oposada.

$\Box$

Per tant, podem calcular les integrals de funcions escalars amb qualsevol parametrització equivalent, mentre que en el cas de funcions vectorials hem de mirar quin sentit de recorregut de la corba ens interessa. La demostració del teorema és un simple càlcul. Tindrem que $\sigma_{2}^{}$(t) = $\sigma_{1}^{}$(h(t)) i, per la regla de la cadena,

$$\sigma_{2}{^\prime}$$(t) = $$\sigma_{1}{^\prime}$$(h(t))h'(t).

En aquesta expressió, el membre de l'esquerra és un vector i el de la dreta és el producte d'un vector per un escalar. Emprant aquesta expressió i tenint en compte que |$\lambda$$\vec{v}$| = |$\lambda$||$\vec{v}$|, la demostració de l'apartat (a) del teorema és com segueix:

$$\int_{{\sigma_2}}^{} \int_{{a_2}}^{{b_2}} \sigma_{2}^{} \sigma_{2}{^\prime}$$ =

$$\int_{{a_2}}^{{b_2}} \sigma_{1}^{} \sigma_{1}{^\prime}$$ =

$$\mbox{canvi de variable $u=h(t)$}$$

$$\left\{\vphantom{\begin{array}{ll} \int_{a_1}^{b_1} f(\sigma_1(u)... ...rt\sigma_1'(u)\Vert (-\text{d}u) & \mbox{si $h'(t)\leq 0$} \end{array}}\right. \begin{array}{ll} \int_{a_1}^{b_1} f(\sigma_1(u)) \Vert\sigma_1'(... ...(u)) \Vert\sigma_1'(u)\Vert (-\text{d}u) & \mbox{si $h'(t)\leq 0$} \end{array}$$ =

$$\int_{{a_1}}^{{b_1}} \sigma_{1}^{} \sigma_{1}{^\prime}$$ =

$$\int_{{\sigma_1}}^{}$$ =

En canvi, en el cas de funcions vectorials, h'(t) no apareix dins un valor absolut i això provoca el doble signe (feu la demostració com exercici). Això completa la demostració.

$\Diamond$ Aquest teorema no té res a veure amb la independència de la integral respecte a la corba o trajectòria pel cas de camps vectorials conservadors. Aquı la corba està fixada i el que discutim és la independència de la integral respecte a la nostra manera de donar la descripció de la corba.