Superfıcies parametritzades

L'exemple més usual de superfıcie a $\ensuremath{\mathbbm{ R}^3}$ es presenta quan hom considera la gràfica d'una funció (figura 11) $g:\ensuremath{\mathbbm{ R}^2}\longrightarrow\ensuremath{\mathbbm{ R}}$. Aquesta manera de donar una superfıcie es coneix com forma explıcita.

Figura: Una superfıcie en forma explıcita

Hi ha, però, moltes superfıcies que no tenen aquesta interpretació. Per exemple, l'equació d'una superfıcie esfèrica de radi 1 i centrada a l'origen és x² + y² + z² = 1, on z no es pot expressar explıcitament de forma unıvoca en termes de x i y: la superfıcie té dos fulls z = + $\sqrt{{1-x^2-y^2}}$ i z = - $\sqrt{{1-x^2-y^2}}$. Aquesta manera de donar una superfıcie, en la forma

f (x, y, z) = 0,

es coneix com forma implıcita. Si f és de classe C¹ en un entorn d'un punt (x₀, y₀, z₀) pertanyent a la superfıcie, f (x₀, y₀, z₀) = 0, i es verifica que

0 $$\neq$$ $$\vec{\nabla}$$f (x₀, y₀, z₀) $$\equiv$$ $$\left(\vphantom{ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0,z_0), \f... ...\partial y}(x_0,y_0,z_0), \frac{\partial f}{\partial z}(x_0,y_0,z_0) }\right.$$$${\frac{{\partial f}}{{\partial x}}}$$(x₀, y₀, z₀),$${\frac{{\partial f}}{{\partial y}}}$$(x₀, y₀, z₀),$${\frac{{\partial f}}{{\partial z}}}$$(x₀, y₀, z₀)$$\left.\vphantom{ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0,z_0), \f... ...\partial y}(x_0,y_0,z_0), \frac{\partial f}{\partial z}(x_0,y_0,z_0) }\right)$$,

aleshores la superfıcie admet un pla tangent en el punt considerat, d'equació

$$\vec{\nabla}$$f (x₀, y₀, z₀) ^. (x - x₀, y - y₀, z - z₀) = 0,

és a dir,

$${\frac{{\partial f}}{{\partial x}}}$$(x₀, y₀, z₀)(x - x₀) + $${\frac{{\partial f}}{{\partial y}}}$$(x₀, y₀, z₀)(y - y₀) + $${\frac{{\partial f}}{{\partial z}}}$$(x₀, y₀, z₀)(z - z₀) = 0.

Això vol dir que, localment, la superfıcie es pot aproximar per un pla, el vector director (normal) del qual és $\vec{\nabla}$f (x₀, y₀, z₀). Es diu que la superfıcie és diferenciable en (x₀, y₀, z₀). Obviament, hi ha superfıcies que tenen punts a on no hi ha pla tangent, tal com mostra la figura 12.

Figura 12: En els punts marcats no hi ha pla tangent

Si la superfıcie està donada explıcitament com z = g(x, y), aleshores f (x, y, z) = g(x, y) - z i el vector normal en un punt és

$$\vec{\nabla}$$f (x₀, y₀, z₀) = $$\left(\vphantom{ \frac{\partial g}{\partial x}(x_0,y_0), \frac{\partial g}{\partial y}(x_0,y_0),-1}\right.$$$${\frac{{\partial g}}{{\partial x}}}$$(x₀, y₀),$${\frac{{\partial g}}{{\partial y}}}$$(x₀, y₀), - 1$$\left.\vphantom{ \frac{\partial g}{\partial x}(x_0,y_0), \frac{\partial g}{\partial y}(x_0,y_0),-1}\right)$$.

El pla tangent resulta ser llavors, si z₀ = g(x₀, y₀),

z = z₀ + $${\frac{{\partial g}}{{\partial x}}}$$(x₀, y₀)(x - x₀) + $${\frac{{\partial g}}{{\partial y}}}$$(x₀, y₀)(y - y₀).

Hem vist que podem pensar una corba com un tros de recta [a, b] ``deformat" per una aplicació $\sigma :[a,b]\longrightarrow\ensuremath{\mathbbm{ R}^n}$. Es possible pensar que una superfıcie és un tros de pla ``deformat"? La resposta és afirmativa i ens condueix a la forma paramètrica d'una superfıcie.

Una superfıcie parametritzada és una funció vectorial

$$\Phi$$ :	D $$\in$$ $$\mathbbm$$R2	$$\longrightarrow$$	$$\mathbbm$$R3
	(u, v)	$$\longmapsto$$	(x(u, v), y(u, v), z(u, v)).

Dessignarem la superfıcie, la imatge de $\Phi$, per S = $\Phi$(D) (vegeu la figura 13).

Figura: Representació paramètrica d'una superfıcie

$\Diamond$ Tal com passava amb les corbes, cal distingir entre la funció $\Phi$ i la seva gràfica, que és la superfıcie. Una mateixa superfıcie pot ser donada per moltes funcions. Per no ser massa pesats no insistirem però en això.

A partir d'ara sols considerarem superfıcies que admetin una representació paramètrica $\Phi$ de classe C¹, o al menys de classe C¹ a trosos.

Exemple 12   Una superfıcie esfèrica de radi a i centre (x₀, y₀, z₀) es pot representar mitjançant

$$\Phi$$(u, v) = (x₀ + a sin u cos v, y₀ + a sin u sin v, z₀ + a cos u),

amb D = [0,$\pi$]×[0, 2$\pi$), és a dir, u $\in$ [0,$\pi$], v $\in$ [0, 2$\pi$). En components (vegeu la figura 14),

x(u, v) = x₀ + a sin u cos v,

y(u, v) = y₀ + a sin u sin v,

z(u, v) = z₀ + a cos u.

Figura 14: Descripció d'una esfera en coordenades esfèriques de radi fixat.

$\Diamond$ S'ha d'insistir en que la representació paramètrica d'una superfıcie té dos paràmetres, ja que una superfıcie és un objecte bidimensional; la representació paramètrica d'una corba té un paràmetre, donat que una corba és un objecte unidimensional.

Sigui $\Phi$ de classe C¹ donada. Fixem un valor del paràmetre u = u₀ i fem variar v. Obtindrem una funció $\Phi_{u_0}:\ensuremath{\mathbbm{ R}}\longrightarrow\ensuremath{\mathbbm{ R}^3}$ tal que

$$\Phi_{{u_0}}^{}$$(v) = $$\Phi$$(u₀, v),

és a dir, la representació paramètrica d'una corba a $\ensuremath{\mathbbm{ R}^3}$, corba que viu sobre la superfıcie S = $\Phi$(D). Anàlogament, fixant v = v₀ podem construir $\Phi_{v_0}:\ensuremath{\mathbbm{ R}}\longrightarrow\ensuremath{\mathbbm{ R}^3}$ amb

$$\Phi_{{v_0}}^{}$$(u) = $$\Phi$$(u, v₀).

Si $\Phi$(u₀, v₀) = (x₀, y₀, z₀), les dues corbes aixı obtingudes es creuaran, al menys, en el punt (x₀, y₀, z₀) (vegeu la figura 15). Podem ara considerar els vectors tangents a aquestes dues corbes en el punt (x₀, y₀, z₀):

$$\vec{T}_{v}^{} \Phi_{{u_0}}{^\prime} {\frac{{\partial\Phi}}{{\partial v}}} \left(\vphantom{\frac{\partial x}{\partial v}(u_0,v_0), \frac{\partial y}{\partial v}(u_0,v_0), \frac{\partial z}{\partial v}(u_0,v_0)}\right. {\frac{{\partial x}}{{\partial v}}} {\frac{{\partial y}}{{\partial v}}} {\frac{{\partial z}}{{\partial v}}} \left.\vphantom{\frac{\partial x}{\partial v}(u_0,v_0), \frac{\partial y}{\partial v}(u_0,v_0), \frac{\partial z}{\partial v}(u_0,v_0)}\right)$$ =

$$\vec{T}_{u}^{} \Phi_{{v_0}}{^\prime} {\frac{{\partial\Phi}}{{\partial u}}} \left(\vphantom{\frac{\partial x}{\partial u}(u_0,v_0), \frac{\partial y}{\partial u}(u_0,v_0), \frac{\partial z}{\partial u}(u_0,v_0)}\right. {\frac{{\partial x}}{{\partial u}}} {\frac{{\partial y}}{{\partial u}}} {\frac{{\partial z}}{{\partial u}}} \left.\vphantom{\frac{\partial x}{\partial u}(u_0,v_0), \frac{\partial y}{\partial u}(u_0,v_0), \frac{\partial z}{\partial u}(u_0,v_0)}\right)$$ =

Figura: Vectors tangents a la superfıcie

Com que els vectors $\vec{T}_{u}^{}$ i $\vec{T}_{v}^{}$ són tangents a corbes contingudes a la superfıcie, seran tangents a la superfıcie i, si no són paral-l ^. lels, determinaran un pla tangent a la superfıcie en el punt (x₀, y₀, z₀). Un vector normal a aquest pla serà

$$\vec{n}$$ = $$\vec{T}_{u}^{}$$×$$\vec{T}_{v}^{}$$ = $$\left(\vphantom{ \frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial z}{... ...rtial v}- \frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v} }\right.$$$${\frac{{\partial y}}{{\partial u}}}$$$${\frac{{\partial z}}{{\partial v}}}$$ - $${\frac{{\partial z}}{{\partial u}}}$$$${\frac{{\partial y}}{{\partial v}}}$$,$${\frac{{\partial z}}{{\partial u}}}$$$${\frac{{\partial x}}{{\partial v}}}$$ - $${\frac{{\partial x}}{{\partial u}}}$$$${\frac{{\partial z}}{{\partial v}}}$$,$${\frac{{\partial x}}{{\partial u}}}$$$${\frac{{\partial y}}{{\partial v}}}$$ - $${\frac{{\partial y}}{{\partial u}}}$$$${\frac{{\partial x}}{{\partial v}}}$$$$\left.\vphantom{ \frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial z}{... ...\partial y}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v} }\right)_{{(u_0,v_0)}}^{}$$.

Exemple 13   Demostreu que aquest vector normal és paral-l ^. lel al vector normal de la superfıcie en forma implıcita, $\vec{\nabla}$f (x₀, y₀, z₀), si aquest és diferent de zero. Per exemple, si ${\frac{{\partial f}}{{\partial z}}}$(x₀, y₀, z₀) $\neq$ 0, llavors

$$\vec{T}_{u}^{}$$×$$\vec{T}_{v}^{}$$ = - $${\frac{{1}}{{\frac{\partial f}{\partial z}}}}$$$$\left(\vphantom{ \frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial x}... ...tial v} - \frac{\partial y}{\partial v}\frac{\partial x}{\partial u}}\right.$$$${\frac{{\partial y}}{{\partial u}}}$$$${\frac{{\partial x}}{{\partial v}}}$$ - $${\frac{{\partial y}}{{\partial v}}}$$$${\frac{{\partial x}}{{\partial u}}}$$$$\left.\vphantom{ \frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial x}... ...tial v} - \frac{\partial y}{\partial v}\frac{\partial x}{\partial u}}\right)$$$$\vec{\nabla}$$f.

Aquest darrer exemple demostra que $\vec{T}_{u}^{}$×$\vec{T}_{v}^{}$ i $\vec{\nabla}$f defineixen el mateix pla tangent. Hi pot haver, però, un problema si

$$\left(\vphantom{ \frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial x}... ...tial v} - \frac{\partial y}{\partial v}\frac{\partial x}{\partial u}}\right.$$$${\frac{{\partial y}}{{\partial u}}}$$$${\frac{{\partial x}}{{\partial v}}}$$ - $${\frac{{\partial y}}{{\partial v}}}$$$${\frac{{\partial x}}{{\partial u}}}$$$$\left.\vphantom{ \frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial x}{... ...\partial y}{\partial v}\frac{\partial x}{\partial u} }\right)_{{(u_0,v_0)}}^{}$$ = 0,

ja que llavors $\vec{T}_{u}^{}$×$\vec{T}_{v}^{}$ = 0 mentre que $\vec{\nabla}$f $\neq$ 0. Això vol dir que la parametrització escollida per a la superfıcie és ``dolenta", al menys per al punt considerat. Canviant de parametrització, és a dir, canviant de $\Phi$, podrem calcular un vector normal en aquest formalisme. Una parametrització s'anomena regular en un punt si $\vec{T}_{u}^{}$×$\vec{T}_{v}^{}$ $\neq$ 0. Si una superfıcie admet una parametrització regular i C¹ en un punt, aleshores existeix el pla tangent a la superfıcie en el punt.

Exemple 14   Sigui el con x² + y² - z² = 0. Una possible parametrització és (vegeu la figura 16)

$$\left\{\vphantom{\begin{array}{ccl} x(u,v)&=&u\cos v\\ y(u,v)&=&u\sin v\\ z(u,v)&=&u \end{array} }\right.$$$$\begin{array}{ccl} x(u,v)&=&u\cos v\\ y(u,v)&=&u\sin v\\ z(u,v)&=&u \end{array}$$$$\begin{array}{ccl} u & \in & (-\infty,+\infty)\\ v & \in & [0,2\pi) \end{array}$$

Figura 16: Parametrització d'un con

Tenim

$$\vec{T}_{u}^{}$$ = (cos v, sin v, 1),

$$\vec{T}_{v}^{}$$ = (- u sin v, u cos v, 0),

$$\vec{T}_{u}^{} \vec{T}_{v}^{}$$ = (- u cos v, - u sin v, u).

El punt (0, 0, 0) = $\Phi$(0,qualsevol cosa) pertany al con (és el vèrtex) i en ell

$$\vec{T}_{u}^{}$$×$$\vec{T}_{v}^{}$$|_{(0,qualsevol cosa)} = 0.

Aquest no és, per tant, un punt regular d'aquesta parametrització. En aquest cas el problema no s'arregla, però, canviant de parametrització: el con no té pla tangent en el punt (0, 0, 0), tal com és obvi gràficament i queda confirmat pel fet que, si f (x, y, z) = x² + y² - z², $\vec{\nabla}$f (0, 0, 0) = 0. Noteu, però, que totes les funcions són C¹.

Estem ara ja en condicions de calcular l'àrea d'una superfıcie parametritzada.

Sigui S = $\Phi$(D), amb $\Phi$ de classe C¹, i regular i injectiva excepte, possiblement, en un nombre finit de punts o corbes de D. Aleshores, l'àrea de la superfıcie és

A(S) = $$\int$$$$\int_{D}^{}$$|$$\vec{T}_{u}^{}$$×$$\vec{T}_{v}^{}$$| dudv.

$\Diamond$ Tal com passava amb les corbes, això no dependrà de la parametrització C¹, regular i injectiva escollida.

La definició donada és raonable si es té en compte el següent. Imaginem una partició de D en rectangles. Sigui un rectangle amb vèrtex inferior esquerra (u₀, v₀) i costats $\Delta$u i $\Delta$v. Si aquests costats són prou petits, la imatge del rectangle serà, aproximadament, un paral-l ^. lelogram (vegeu la figura 17). Podem aproximar la superfıcie pel conjunt de tots aquests paral-l ^. lelograms, calcular la seva àrea, sumar i fer el lımit quan $\Delta$u,$\Delta$v$\to$ 0.

Figura: Aproximació de l'àrea d'una superfıcie

Els quatre costats del rectangle considerat tindran, dins d'aquesta aproximació, imatges donades per

$$\mapsto$$ (u₀, v₀) (x₀, y₀, z₀),

$$\Delta \mapsto {\frac{{\partial x}}{{\partial u}}} \Delta {\frac{{\partial y}}{{\partial u}}} \Delta {\frac{{\partial z}}{{\partial u}}} \Delta$$

$$\Delta \vec{T}_{u}^{}$$ =

$$\Delta \mapsto \Delta \vec{T}_{v}^{}$$

$$\Delta \Delta \mapsto \Delta \vec{T}_{u}^{} \Delta \vec{T}_{v}^{}$$

El paral-l ^. lelogram que s'obté està dibuixat a la figura 18.

Figura 18: Imatge d'un rectangle de D

L'àrea d'aquest paral-l ^. lelogram és igual al mòdul del producte vectorial dels vectors que defineixen els seus costats:

|($$\Delta$$u$$\vec{T}_{u}^{}$$)×($$\Delta$$v$$\vec{T}_{v}^{}$$)| = $$\Delta$$u$$\Delta$$v|$$\vec{T}_{u}^{}$$×$$\vec{T}_{v}^{}$$|.

Llavors

A(S) = $$\lim_{{\mbox{m\\lq {a}x }\{\Delta u,\Delta v\}\to 0}}^{}$$$$\sum_{{\mbox{rectangles}}}^{}$$|$$\vec{T}_{u}^{}$$×$$\vec{T}_{v}^{}$$|$$\Delta$$u$$\Delta$$v = $$\int$$$$\int_{D}^{}$$|$$\vec{T}_{u}^{}$$×$$\vec{T}_{v}^{}$$| dudv.

Exemple 15   Càlcul de l'àrea d'una superfıcie esfèrica de radi a. Anomenant $\theta$,$\phi$ als parametres, agafem

$$\left\{\vphantom{\begin{array}{ccl} x&=&a\sin\theta\cos\phi\\ y&=&a\sin\theta\sin\phi\\ z&=&a\cos\theta \end{array} }\right.$$$$\begin{array}{ccl} x&=&a\sin\theta\cos\phi\\ y&=&a\sin\theta\sin\phi\\ z&=&a\cos\theta \end{array}$$$$\begin{array}{c} 0\leq\theta\leq\pi\\ 0\leq\phi<2\pi \end{array}$$

Llavors

$$\vec{T}_{\theta}^{} \theta \phi \theta \phi \theta$$ =

$$\vec{T}_{\phi}^{} \theta \phi \theta \phi$$ =

$$\vec{T}_{\theta}^{} \vec{T}_{\phi}^{} \theta \phi \theta \phi \theta \theta$$ =

$$\vec{T}_{\theta}^{} \vec{T}_{\phi}^{} \sqrt{{\sin^2\theta}} \theta \theta \mbox{ja que $0\leq\theta\leq\pi$}$$ =

Per tant

$$\mbox{esfera de radi $a$} \int_{0}^{\pi} \theta \int_{0}^{{2\pi}} \phi \theta$$ =

$$\pi \int_{0}^{\pi} \theta \theta \pi$$ =

$\Diamond$ En aquest exemple hem treballat, de fet, amb coordenades esfèriques amb radi fixat, però no cal posar cap mena de Jacobià a la integral doble: el factor |$\vec{T}_{\theta}^{}$×$\vec{T}_{\phi}^{}$| ja ho té tot en compte, tal com es dedueix del raonament que hem efectuat.

$\Diamond$ En aquest exemple, la normal $\vec{T}_{\theta}^{}$×$\vec{T}_{\phi}^{}$ apunta cap a l'exterior de l'esfera. Per exemple, en el punt (a, 0, 0) = $\Phi$($\theta$ = $\pi$/2,$\phi$ = 0) tenim $\vec{T}_{\theta}^{}$×$\vec{T}_{\phi}^{}$ = (a², 0, 0). Si haguèssim canviat l'ordre dels paràmetres, considerant primer $\phi$ i segon $\theta$, hauriem obtingut una normal cap dintre. En el càlcul precedent això és irrellevant, ja que finalment sols el mòdul de la normal importa.