51528 Música i Matemàtiques

Musica est exercitium arithmeticae occultum nescientis se numerare animi
      és a dir...
La música és un exercici ocult d'aritmètica en el qual l'esperit ignora que calcula (Leibniz, 1712)

Hola a tothom!
L'assignatura de Música i Matemàtiques es va impartir entre els anys 2005-2010 com a assignatura de lliure elecció a la Facultat de Matemàtiques i Estadística de la UPC, dins l'antiga llicenciatura de matemàtiques.  Podeu accedir a la web de l'últim curs en què es va impartir.  En aquesta pàgina mantindré especialment la informació bibliogràfica i els enllaços.

L'origen d'aquesta assignatura es troba en els nombrosos elements que entrellacen la música amb les matemàtiques, com ara:

• escales de 7 o 12 notes,
• freqüència de 440 Hz (la nota A₄),
• compàs de 2/4,
• un semitò = raó 2^1/12 (un dotzè d'octava),
• interval de quinta perfecta = raó 3/2 = 701'955... cents,
• harmònics f, 2f, 3f...,
• el grup Z₁₂,
• etc. 

L'objectiu de l'assignatura és explorar aquestes i moltes altres de les facetes matemàtiques de la música.  L'assignatura pot interessar a estudiants de Matemàtiques, Física, Enginyeria de Telecomunicació, Enginyeria Industrial, ... que tinguin inquietuds musicals.
Per ser més precisos, l'únic prerequisit matemàtic rellevant al llarg d'una part considerable del curs és el coneixement de les equacions diferencials ordinàries lineals i la resolució d'equacions en derivades parcials per separació de variables; tanmateix, no és imprescindible per al seguiment del curs.   Altres qüestions matemàtiques més específiques, com ara les fraccions contínues, alguns resultats de combinatòria, o algunes qüestions de geometria del pla, s'explicaran quan sigui necessari.

Temari

• Introducció: la música, l'art del so
• Espectres dels instruments musicals
  • Classificació dels instruments musicals
  • L'equació de les ones
  • Corda vibrant
  • Tubs d'aire
  • Membranes
  • Barres, plaques...
• La percepció del so i el concepte de dissonància
  • L'oïda
  • Característiques del so
  • Teoria de la dissonància
  • Relació entre espectres i escales
• Síntesi digital de so
  • Àudio digital i Pure Data
  • Anàlisi de Fourier
  • Síntesi i tractament d'àudio
• Escales i sistemes d'afinació
  • Intervals i escales
  • Afinació pitagòrica
  • Afinació justa
  • Temperaments mesotònics
  • Temperaments irregulars
  • Altres escales
  • Escales generades per un interval
• Simetries i estructures matemàtiques en la música
  • Divertiments musicals
  • Transformacions i simetries en l'espai musical
  • Mètodes de composició. Dodecafonisme
  • Combinatòria d'escales i acords
  • Ritmes
  • Un exemple: la sardana

Avaluació

Els fitxers pdf de la major part dels treballs realitzats durant aquest anys es troben aquí.  No hi figuren alguns materials addicionals com ara llistats, àudios, vídeos, etc.

Altres activitats relacionades amb l'assignatura

• Xerrada a la Universitat de Saragossa: La teoría de la disonancia: un encuentro entre música y matemàticas
  Universidad de Zaragoza, 30 octubre 2008
  [pdf de la presentació]
• Xerrada per a estudiants de secundària: Matemàtiques i música: sons, espectres i escales
  FME, 20 abril 2010
  [pdf de la meva part de la presentació]

Llibres

Llibres de caire general

• David J. Benson, Music: a mathematical offering, Cambridge University Press, 2007.
  Document online: http://homepages.abdn.ac.uk/mth192/pages/html/maths-music.html, 2008 (visitat el 13-set-2012).
Text molt recomanable.   Cobreix una part molt substancial del temari que fem, i a un nivell similar.
• Thomas D. Rossing, F. Richard Moore and Paul A. Wheeler, The science of sound (3rd ed), Addison-Wesley, San Francisco, 2002.
Un llibre molt maco, amb pler d'informació interessant sobre el so i la música, tot i mantenir-se a un nivell matemàtic elemental.
• Gareth Loy, Musimathics: the mathematical foundations of music (vols 1 & 2), MIT Press, Cambridge, 2007.
El primer volum estudia els aspectes matemàtics de la música de manera bastant clara i senzilla.   El segon volum està dedicat a l'anàlisi i la síntesi del so.
• Hermann Helmholtz, On the sensations of tone, Dover, New York, 1954 (original alemany del 1885).
Text clàssic fonamental: acústica, psicoacústica, escales...
• Ian Johnston, Measured tones: the interplay of physics and music (2nd ed, corrected), Institute of Physics Publishing, Bristol, 2003.
Llibre amb qüestions variades d'acústica, escales, percepció del so, etc, redactat des d'una perspectiva bàsicament física.
• David Wright, Mathematics and music, American Mathematical Society, 2009.
Al contrari que l'anterior, en aquest la perspectiva és bàsicament matemàtica, tot i que bastant elemental: descriu la notació musical, les propietats bàsiques dels intervals, l'espectre harmònic i la teoria elemental de les escales.

Llibres sobre acústica i instruments

• Neville H. Fletcher and Thomas D. Rossing, The physics of musical instruments (2nd ed), Springer-Verlag, New York, 1999.
Llibre molt interessant sobre el so i els instruments musicals. La primera part ha donat lloc a un volum separat:
• Thomas D. Rossing and Neville H. Fletcher, Principles of vibration and sound, Springer-Verlag, New York, 1995.
• Philip M. Morse and K. Uno Ingard, Theoretical acoustics, PUP, Princeton, 1986 (original del 1968).
• Arthur H. Benade, Fundamentals of musical acoustics (2nd ed), Dover, New York, 1990 (original de 1976).
• Lawrence E. Kinsler, Austin R. Frey, Alan B. Coppens, James V. Sanders, Fundamentals of acoustics (4th ed), Wiley, New York, 2000.
Té traducció castellana.

Llibres sobre percepció del so i dissonància

• William A. Sethares, Tuning, timbre, spectrum, scale (2nd ed), Springer, London, 2004.
En aquest llibre s'explora la relació entre espectre i dissonància, i com es poden construir escales adequades a l'espectre. Conté un CD-ROM amb exemples sonors i peces musicals.
• Music, cognition, and computerized sound: an introduction to psychoacoustics, edited by Perry R. Cook, MIT, Cambridge, 1999.
És una col·lecció molt interessant de diversos assaigs sobre psicoacústica, i conté un CD amb exemples sonors.
• The psychology of music (2nd ed), edited by Diana Deutsch, Academic Press, Amsterdam, 1999.
Aquest llibre també és molt interessant, tot i que és més especialitzat que l'anterior. Conté moltes referències recents sobre psicologia de la música.

Llibres sobre escales i afinació

• J.J. Goldáraz Gaínza, Afinación y temperamentos históricos, Alianza Editorial, Madrid, 2004.
Potser el millor llibre en castellà sobre la matèria.
És una versió ampliada d'un volum previ:
• J.J. Goldáraz Gaínza, Afinación y temperamento en la música occidental, Alianza Editorial, Madrid, 1992.
• J. Murray Barbour, Tuning and temperament. A historical survey, Dover, New York, 2004 (original de 1951).
Referència bàsica sobre la història de les escales.

Llibres sobre simetries i estructures matemàtiques en música

• Michael Keith, From polychords to Pólya; adventures in musical combinatorics, Vinculum Press, Princeton, 1991.
L'objectiu del llibre és molt concret: calcular i classificar sistemàticament els possibles acords i escales que es poden fer a partir d'un conjunt de notes.
• John Rahn, Basic atonal theory, Schirmer Books, 1980.
• Allen Forte, The structure of atonal music, Yale University Press, 1973.
• George Perle, Twelve-tone tonality (2nd ed), University of California Press, 1996.

Llibres sobre música electrònica

• Johannes Kreidler, Programming electronic music in Pd, Wolke Publishing House, 2010. 
  Document online: http://www.pd-tutorial.com/english/index.html (visitat el 21-gener-2011).
• Miller Puckette, The theory and technique of electronic music, World Scientific Press, 2007. 
  Document online: http://crca.ucsd.edu/~msp/techniques.htm (visitat el 21-gener-2011).

Llibres sobre temes variats

• Music and mathematics. From Pythagoras to fractals, edited by John Fauvel, Raymond Flood and Robin Wilson, Oxford University Press, Oxford, 2003.
• Mathematics and music: a Diderot mathematical forum, edited by G. Assayag, H.G. Feichtinger and J.F. Rodrigues, Springer, Berlin, 2002.
Aquests dos llibres són col·leccions d'assaigs bastant variats sobre les relacions entre la música i les matemàtiques. A destacar els articles de Hodges sobre simetries en música.
• Jan Beran, Statistics in musicology, Chapman and Hall, 2004.
• David Temperley, Music and probability, MIT Press, Cambridge, 2007.

Llibres divulgatius o lúdics

• Javier Arbonés, Pablo Milrud La armonía es numérica. Música y matemáticas, col·lecció El mundo es matemático, RBA Coleccionables, 2010.
Explica de manera senzilla algunes qüestions relatives a les escales, el temps, les simetries, la digitalització del so i els mètodes de composició, tot barrejant-hi teoria de la música i nombroses anècdotes històriques.
• Leon Harklelroad, The math behind the music, Cambridge University Press, Cambridge, 2006.
Llibre bastant elemental, on explica algunes qüestions sobre els tons, les escales i les simetries, il·lustrades amb un CD. Té un capítol sobre com no s'han de barrejar música i matemàtiques.
• David Puertas, Música encreuada. Els enigmes musicals, Clivis Publicacions, Barcelona, 2004.

Llibres sobre complements matemàtics

• George Arfken, Mathematical methods for physicists, Academic Press, New York, 1970 (2nd ed)...
• Richard Courant and David Hilbert, Methods of mathematical physics, Interscience, New York, 1953.
• Manfred R. Schroeder, Number theory in science and communication, 3rd ed, Springer-Verlag, Berlin, 1997.
• Godfrey H. Hardy and Edward M. Wright, An Introduction to the theory of numbers, Oxford University Press, 1938/1980.
• Peter J. Cameron, Combinatorics: topics, techniques, algorithms, Cambridge University Press, 1994.
• Julius O. Smith III, Mathematics of the discrete Fourier transform (DFT), with audio applications, 2nd ed, W3K Publishing, 2007.
  Document online: http://ccrma.stanford.edu/~jos/mdft/, 2007 (visitat el 21-gener-2011).

Pàgines a Internet

• HyperPhysics
• Acoustics and vibration animations (Dan Russell)
• Understanding temperaments (Pierre Lewis)
• The Just Intonation Network
• Symmetry as a compositional determinant (Larry Solomon)
• Sessions pràctiques amb Pure Data per a l'assignatura, a càrrec de Lali Barrière (curs 2010).
• Pure Data (IOhannes m zmoelnig), a real-time graphical programming environment for audio, video, and graphical processing.
• Des del 2010 la Mathematics Subject Classification compta amb l'ítem 00A65 Mathematics and music. Si hi teniu accés, aquí podeu trobar els articles ressenyats al MathSciNet sobre la matèria.

• William Sethares
• Wendy Carlos
• Departament de Sonologia i Seminari de Sonologia (Perfecto Herrera) de l'ESMuC
• Music acoustics (Acoustics Lab, University of New South Wales)
• Atrapasons, programa de Televisió de Catalunya (Xavi Lozano)
• This week's finds in mathematical physics (week 234), una mica de teoria d'acords i escales (John Baez)
• Las matemáticas y la música (Benjamín Dugnol)
• Harry Partch's Instruments
• Dictionary of exotic rhythms (Mike Keith)
• Music acoustics (UNSW)
• Curso de acústica (EHU)
• Museu de la Música de Barcelona

• Diana Deutsch
• Dmitri Tymoczko
• Mike Keith

Anar a la pàgina principal de Xavier Gràcia